Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de matrizes. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $x\left(x+1\right)$
Multiplicando polinômios
Simplificando
Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
A integral de $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a
Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$
A integral $\int\frac{1}{x}dx$ resulta em: $\ln\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{a+b}dx$$=n\int\frac{1}{a+b}dx$, onde $a=1$, $b=x$ e $n=-1$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=1$ e $n=1$
A integral $\int\frac{-1}{x+1}dx$ resulta em: $-\ln\left(x+1\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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