👉 Baixe o NerdPal agora! Nosso novo aplicativo de matemática no iOS e Android
  1. calculadoras
  2. Integração Por Frações Parciais

Calculadora de Integração por Frações Parciais

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Integração por Frações Parciais passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

Go!
Modo simbolico
Modo texto
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

1

Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integração por frações parciais. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\int\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx$
2

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ em $2$ frações mais simples

$\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$
3

Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $x\left(x+1\right)$

$1=x\left(x+1\right)\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\right)$
4

Multiplicando polinômios

$1=\frac{x\left(x+1\right)A}{x}+\frac{x\left(x+1\right)B}{x+1}$
5

Simplificando

$1=\left(x+1\right)A+xB$
6

Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(x=0) \\ 1=-B&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1)\end{matrix}$
7

Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares

$\begin{matrix}1A & + & 0B & =1 \\ 0A & - & 1B & =1\end{matrix}$
8

Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)$
9

Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right)$
10

A integral de $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a

$\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$
11

Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

$\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{-1}{x+1}dx$
12

Podemos resolver a integral $\int\frac{-1}{x+1}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x+1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=x+1$

Diferencie ambos os lados da equação $u=x+1$

$du=\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

Encontre a derivada

$\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente

$\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=1$

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$1$
13

Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=dx$
14

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{-1}{u}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$

$\ln\left(x\right)$
15

A integral $\int\frac{1}{x}dx$ resulta em: $\ln\left(x\right)$

$\ln\left(x\right)$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=-1$

$-\ln\left(u\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $x+1$

$-\ln\left(x+1\right)$
16

A integral $\int\frac{-1}{u}du$ resulta em: $-\ln\left(x+1\right)$

$-\ln\left(x+1\right)$
17

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$\ln\left(x\right)-\ln\left(x+1\right)$
18

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\ln\left(x\right)-\ln\left(x+1\right)+C_0$

Resposta final para o problema

$\ln\left(x\right)-\ln\left(x+1\right)+C_0$

Você tem dificuldades com matemática?

Tenha acesso a milhares de soluções de exercícios passo a passo e elas crescem a cada dia!