Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integração por frações parciais. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $x\left(x+1\right)$
Multiplicando polinômios
Simplificando
Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
A integral de $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a
Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Podemos resolver a integral $\int\frac{-1}{x+1}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x+1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=x+1$
Encontre a derivada
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=1$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$
A integral $\int\frac{1}{x}dx$ resulta em: $\ln\left|x\right|$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=-1$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $x+1$
A integral $\int\frac{-1}{u}du$ resulta em: $-\ln\left|x+1\right|$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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