Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integração por substituição de weierstrass. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int \frac{1}{1-\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição
Portanto
Substituindo na integral original, obtemos
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ e $a/bc/f=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Aplicamos a regra: $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, onde $b=1-t^{2}$ e $c=1+t^{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$$=\frac{a+c}{b}$, onde $a=-1+t^{2}$, $b=1+t^{2}$ e $c=2t$
Aplicamos a regra: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, onde $a=1$, $b=-1+t^{2}+2t$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$ e $b/c=\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=2$, $b=2t^{2}+2t$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ e $b/c=\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a=1+t^{2}$ e $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}$
Fatore o denominador por $2$
Cancele o fator comum $2$ da fração
Simplificando
Fatore o polinômio $t^{2}+t$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $t$
Reescreva a expressão $\frac{1}{t^{2}+t}$ que está dentro da integral na forma fatorada
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $t\left(t+1\right)$
Multiplicando polinômios
Simplificando
Atribuindo valores a $t$ obtemos o seguinte sistema de equações
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
A integral de $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Podemos resolver a integral $\int \frac{-1}{t+1}dt$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $t+1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=t+1$
Encontre a derivada
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=1$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=t$
Agora, para reescrever $dt$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituímos $u$ e $dt$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=t$ e $n=1$
A integral $\int \frac{1}{t}dt$ resulta em: $\ln\left(t\right)$
Aplicamos a regra: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=-1$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $t+1$
A integral $\int \frac{-1}{u}du$ resulta em: $-\ln\left(t+1\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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