Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integração por substituição trigonométrica. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Derivar ambos os lados da equação $x=2\tan\left(\theta \right)$
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=\theta $
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituindo na integral original, obtemos
Fatore o polinômio $4\tan\left(\theta \right)^2+4$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $4$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=4$, $b=\tan\left(\theta \right)^2+1$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicando a identidade trigonométrica: $1+\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=4$ e $x=\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}\sec\left(\theta \right)^2$
Simplifique $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ e $n=2$
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, onde $dx=d\theta$, $x=\theta $ e $n=3$
Podemos resolver a integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\sec\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=\theta $
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
Calcule a integral
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^2dx$$=\tan\left(\theta \right)+C$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$, onde $x=\tan\left(\theta \right)$
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
Multiplique o termo $4$ por cada termo do polinômio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta\right)$
Aplicando a identidade trigonométrica: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Podemos identificar que a integral tem a forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se a potência $n$ for ímpar e $m$ for par, então devemos expressar todas as funções em termos de secantes, expandir e integrar separadamente
Multiplique o termo $\sec\left(\theta \right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ e $n=2$
Multiplique o termo $\sec\left(\theta \right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expanda a integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=4\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)$, $b=x$ e $c=2$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, onde $dx=d\theta$, $x=\theta $ e $n=3$
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{3-1}$, $b=\frac{3-2}{3-1}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$, $x=-4$ e $a+b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{3-1}+\frac{3-2}{3-1}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
Aplicamos a regra: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, onde $a=-4$, $b=2$, $ax/b=-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$, $x=\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}$ e $x/b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
A integral $-4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ resulta em: $-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Reduzindo termos semelhantes $\sqrt{x^2+4}x$ e $-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-1$ e $x=\sec\left(\theta \right)$
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
A integral $-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$ resulta em: $4\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Reduzindo termos semelhantes $-2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$ e $4\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$
O mínimo múltiplo comum (MMC) de uma soma de frações algébricas consiste no produto dos fatores comuns com o maior expoente e dos fatores não comuns
Combine e simplifique todos os termos da mesma fração com $2$ como denominador comum
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Aplicamos a regra: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, onde $a=2$, $b=2$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+4}+x$
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