Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integração por substituição trigonométrica. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Derivar ambos os lados da equação $x=2\tan\left(\theta \right)$
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=\theta $
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=2$, $b=\tan\left(\theta \right)$ e $n=2$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $n+n\tan\left(\theta \right)^2$$=n\sec\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $ e $n=4$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=4$, $b=\sec\left(\theta \right)^2$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=2\cdot 2\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $a=2$ e $b=2$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=4\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ e $n=2$
Substituindo na integral original, obtemos
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=4$ e $x=\sec\left(\theta \right)^{3}$
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, onde $dx=d\theta$, $x=\theta $ e $n=3$
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$, $b=\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$, $x=4$ e $a+b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
Aplicamos a regra: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, onde $a=4$, $b=2$, $ax/b=4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$, $x=\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}$ e $x/b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$
Aplicamos a regra: $\left(\frac{a}{b}\right)^n$$=\frac{a^n}{b^n}$, onde $a=\sqrt{x^2+4}$, $b=2$ e $n=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=x$, $b=\sqrt{x^2+4}$, $c=x^2+4$, $a/b=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$, $f=4$, $c/f=\frac{x^2+4}{4}$ e $a/bc/f=2\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\right)\left(\frac{x^2+4}{4}\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a^n}$$=a^{\left(1-n\right)}$, onde $a=x^2+4$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=2$, $b=x\sqrt{x^2+4}$ e $c=4$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
A integral $2\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ resulta em: $2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Aplicamos a regra: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, onde $a=2$, $b=2$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+4}+x$
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