Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integração por método tabular. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int x^4\sin\left(x\right)dx$ aplicando o método tabular de integração por partes, que nos permite integrar sucessivamente integrais da forma $\int P(x)T(x) dx$ por partes. $P(x)$ é normalmente um polinômio e $T(x)$ é uma função transcendente como $\sin(x)$, $\cos(x)$ e $e^x$. O primeiro passo é escolher as funções $P(x)$ e $T(x)$
Diferencie $x^4$ em relação a $x$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=4$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=3$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=4\cdot 3x^{2}$, $a=4$ e $b=3$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=12\cdot 2x$, $a=12$ e $b=2$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=24$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=24$
Diferencie $P(x)$ até que se torne $0$
Integre $\sin\left(x\right)$ em relação a $x$
Aplicamos a regra: $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-1$ e $x=\cos\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\int\cos\left(\theta \right)dx$$=\sin\left(\theta \right)+C$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-1$ e $x=\sin\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\cos\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\int\cos\left(\theta \right)dx$$=\sin\left(\theta \right)+C$
Aplicamos a regra: $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Integre $T(x)$ tantas vezes quantas tivemos que derivar $P(x)$, então devemos integrar $\sin\left(x\right)$ um total de $5$ vezes
Com as derivadas e integrais de ambas as funções construímos a seguinte tabela
Então, a solução consiste na soma dos produtos das derivadas e das integrais conforme tabela anterior. O primeiro termo consiste no produto da função polinomial e da primeira integral. O segundo termo é o produto da primeira derivada pela segunda integral e assim por diante.
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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