Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integração por substituição. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int x\cos\left(2x^2+3\right)dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x^2+3$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=2x^2+3$
Encontre a derivada
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Resolvendo $dx$ da equação anterior
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a=x$ e $a/a=\frac{x\cos\left(u\right)}{4x}$
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=4$ e $x=\cos\left(u\right)$
Aplicamos a regra: $\int\cos\left(\theta \right)dx$$=\sin\left(\theta \right)+C$, onde $x=u$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x^2+3$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x^2+3$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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