$\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|+C_0$
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Solução explicada passo a passo

Como devo resolver esse problema?

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  • Integrar por frações parciais
  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar por partes
  • Integrar pelo método tabular
  • Integrar por substituição trigonométrica
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Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$$=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$

$\frac{1}{\frac{2\sin\left(2x\right)}{2}}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a=2$ e $a/a=\frac{2\sin\left(2x\right)}{2}$

$\frac{1}{\sin\left(2x\right)}$

Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{n}{\sin\left(\theta \right)}$$=n\csc\left(\theta \right)$, onde $x=2x$ e $n=1$

$\csc\left(2x\right)$
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Simplifique $\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}$ em $\csc\left(2x\right)$ aplicando identidades trigonométricas

$\int\csc\left(2x\right)dx$
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Podemos resolver a integral $\int\csc\left(2x\right)dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x$

Diferencie ambos os lados da equação $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontre a derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=2$

$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$2$
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Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=2dx$

Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=du$ e $b=2dx$

$2dx=du$

Aplicamos a regra: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=du$ e $x=dx$

$dx=\frac{du}{2}$
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Resolvendo $dx$ da equação anterior

$dx=\frac{du}{2}$
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Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{\csc\left(u\right)}{2}du$
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Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=\csc\left(u\right)$

$\frac{1}{2}\int\csc\left(u\right)du$
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Aplicamos a regra: $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=u$

$-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left|\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right|$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left|\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right|$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$-\frac{1}{2}\ln\left|\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)\right|$
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Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$-\frac{1}{2}\ln\left|\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)\right|$
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Aplicamos a identidade trigonométrica: $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, onde $nx=2x$ e $n=2$

$-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|$
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Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|+C_0$

Resposta final para o problema

$-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|+C_0$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $-\frac{1}{2}\ln\left(\cot\left(x\right)\right)+C_0$

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Como melhorar sua resposta:

Conceito Principal: Integrais Trigonométricas

São aquelas integrais que contêm funções trigonométricas e suas potências. Para melhor compreensão e resolução, eles foram separados em diferentes casos.

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