Podemos resolver a integral $\int\csc\left(2x\right)dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=\csc\left(u\right)$

Aplicamos a regra: $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=u$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right)$

Aplicamos a identidade trigonométrica: $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, onde $nx=2x$ e $n=2$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$