Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integrais com radicais. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Derivar ambos os lados da equação $x=2\sin\left(\theta \right)$
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$, onde $x=\theta $
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituindo na integral original, obtemos
Fatore o polinômio $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $4$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=4$, $b=1-\sin\left(\theta \right)^2$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicando a identidade trigonométrica: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=4$ e $x=\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)$
Simplifique $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$, onde $x=\cos\left(\theta \right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\cos\left(\theta \right)^2$$=\frac{1+\cos\left(2\theta \right)}{2}$, onde $x=\theta $
Reescreva a expressão trigonométrica $\cos\left(\theta \right)^2$ na integral
Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=1+\cos\left(2\theta \right)$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=1$, $b=2$ e $a/b=\frac{1}{2}$
Expanda a integral $\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=4\cdot \frac{1}{2}\left(\int1d\theta+\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$, $a=4$ e $b=\frac{1}{2}$
Simplificamos a expressão dentro da integral
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\int1d\theta$, $b=\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$, $x=2$ e $a+b=\int1d\theta+\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$
Aplicamos a regra: $\int cdx$$=cvar+C$, onde $c=1$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
A integral $2\cdot \int1d\theta$ resulta em: $2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
Aplicamos a regra: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)+C$, onde $a=2$ e $x=\theta $
Simplificamos a expressão dentro da integral
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sin\left(2\theta \right)$$=2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, onde $x=\theta $
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
A integral $2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$ resulta em: $\frac{\sqrt{4-x^2}x}{2}$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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