Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integrais com radicais. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Derivar ambos os lados da equação $x=2\sin\left(\theta \right)$
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$, onde $x=\theta $
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=2$, $b=\sin\left(\theta \right)$ e $n=2$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- 4\sin\left(\theta \right)^2$, $a=-1$ e $b=4$
Substituindo na integral original, obtemos
Fatore o polinômio $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $4$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=1-\sin\left(\theta \right)^2$, $b=4$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicando a identidade trigonométrica: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=2$ e $x=2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)$
Simplifique $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=2$, $b=2$ e $a/b=\frac{2}{2}$
Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$, onde $x=\cos\left(\theta \right)$
Aplicamos a regra: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, onde $x=\theta $
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sin\left(2\theta \right)$$=2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=4$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{4}$ e $ca/b=\left(\frac{1}{4}\right)\cdot 2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=2\cdot 1$, $a=2$ e $b=1$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=2$, $b=4$ e $a/b=\frac{2}{4}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=4$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{4}$ e $ca/b=\left(\frac{1}{4}\right)\cdot 2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=x$, $a/b=\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{x}{2}$ e $a/bc/f=\frac{1}{2}\frac{x}{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=2\cdot 2$, $a=2$ e $b=2$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=x$, $b=4$, $c=\sqrt{4-x^2}$, $a/b=\frac{x}{4}$, $f=2$, $c/f=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ e $a/bc/f=\frac{x}{4}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=x$, $a/b=\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{x}{2}$ e $a/bc/f=\frac{1}{2}\frac{x}{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=2\cdot 2$, $a=2$ e $b=2$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=4\cdot 2$, $a=4$ e $b=2$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$, $b=\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}$, $x=2$ e $a+b=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=2$, $b=x\sqrt{4-x^2}$ e $c=8$
Aplicamos a regra: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, onde $ab=2x\sqrt{4-x^2}$, $a=2$, $b=x\sqrt{4-x^2}$, $c=8$ e $ab/c=\frac{2x\sqrt{4-x^2}}{8}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=2$, $b=2$ e $a/b=\frac{2}{2}$
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