Podemos resolver a integral $\int\left(x-7\right)^{11}\left(x+3\right)dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x-7$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Reescreva $x$ em termos de $u$
Substituímos $u$, $dx$ e $x$ na integral e depois simplificamos
Reescreva o integrando $u^{11}\left(u+10\right)$ na forma expandida
Expanda a integral $\int\left(u^{12}+10u^{11}\right)du$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
A integral $\int u^{12}du$ resulta em: $\frac{\left(x-7\right)^{13}}{13}$
A integral $\int10u^{11}du$ resulta em: $\frac{5}{6}\left(x-7\right)^{12}$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Como devo resolver esse problema?
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