Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Escolha uma opção
- Equação Diferencial Exata
- Equação Diferencial Linear
- Equação Diferencial Separável
- Equação Diferencial Homogênea
- Integrar por frações parciais
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Método FOIL
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
- Carregue mais...
Divida todos os termos da equação diferencial por $x^3$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, onde $a=x$ e $n=3$
Aplicamos a regra: $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, onde $a^n=x^3$, $a^m=x^3$, $a=x$, $a^m/a^n=\frac{x^3}{x^3}$, $m=3$ e $n=3$
Aplicamos a regra: $x^0$$=1$
Aplicamos a regra: $\frac{a^m}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-m\right)}}$, onde $a=x$, $m=2$ e $n=3$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=3$, $b=-2$ e $a+b=3-2$
Aplicamos a regra: $x^1$$=x$
Simplificando
Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=\frac{3}{x}$ e $Q(x)=\frac{1}{x^{2}}$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$
Calcule a integral
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=3$
Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$
Aplicamos a regra: $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, onde $a=3$, $b=x$ e $2.718281828459045=e$
Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^3$, $b=3y$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^3$, $b=1$ e $c=x^{2}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=x^3$
Aplicamos a regra: $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, onde $a^n=x^{2}$, $a^m=x^3$, $a=x$, $a^m/a^n=\frac{x^3}{x^{2}}$, $m=3$ e $n=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{3yx^3}{x}$, $a^n=x^3$, $a=x$ e $n=3$
Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar
Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$
Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$
Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial
Aplicamos a regra: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int xdx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^2$, $b=1$ e $c=2$
Combine todos os termos em uma única fração com $2$ como denominador comum
Aplicamos a regra: $nc$$=cteint$, onde $c=C_0$, $nc=2\cdot C_0$ e $n=2$
Aplicamos a regra: $xa=\frac{b}{c}$$\to x=\frac{b}{ac}$, onde $a=x^3$, $b=x^2+C_1$, $c=2$ e $x=y$
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
