Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Escolha uma opção
- Resolva usando a regra de l'Hôpital
- Resolver sem usar l'Hôpital
- Resolva usando propriedades de limites
- Resolva usando substituição direta
- Resolva o limite usando fatoração
- Resolva o limite usando racionalização
- Integrar por frações parciais
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Método FOIL
- Carregue mais...
Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$=\lim_{x\to c}\left(e^{b\ln\left(a\right)}\right)$, onde $a=1+3\sin\left(x\right)$, $b=\frac{1}{x}$ e $c=0$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$={\left(\lim_{x\to c}\left(a\right)\right)}^{\lim_{x\to c}\left(b\right)}$, onde $a=e$, $b=\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}$ e $c=0$
Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, onde $a=e$ e $c=0$
Insira o valor $0$ no limite
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, onde $x=0$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=3\cdot 0$, $a=3$ e $b=0$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=0$ e $a+b=1+0$
Aplicamos a regra: $\ln\left(x\right)$$=logf\left(x,e\right)$, onde $x=1$
Se avaliarmos diretamente o limite $\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)$ como $x$ tende a $0$, podemos ver que isso resulta em uma forma indeterminada
Podemos resolver este limite aplicando a regra de L'Hôpital, que consiste em determinar a derivada do numerador e do denominador separadamente
Encontre a derivada do numerador
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=3\cos\left(x\right)$, $b=1$ e $c=1+3\sin\left(x\right)$
Encontre a derivada do denominador
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Aplicamos a regra: $\frac{x}{1}$$=x$, onde $x=\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}$
Depois de diferenciar o numerador e o denominador, e simplificar, o limite resulta em
Avalie o limite substituindo todas as ocorrências de $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ por $x$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, onde $x=0$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=3\cdot 0$, $a=3$ e $b=0$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=0$ e $a+b=1+0$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\cos\left(\theta \right)$$=\cos\left(\theta \right)$, onde $x=0$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=3\cdot 1$, $a=3$ e $b=1$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=3$, $b=1$ e $a/b=\frac{3}{1}$
Avalie o limite substituindo todas as ocorrências de $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ por $x$
