Conceitos

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f(x)=(1+3sin(x))^(1/x)−6−5−4−3−2−10123456−3-2.5−2-1.5−1-0.500.511.522.53xy

Exercício

lim⁡x→0(1+3sinx)1x\lim_{x\to0}\left(1+3sinx\right)^{\frac{1}{x}}

Solução explicada passo a passo

1

Aplicamos a regra: lim⁡x→c(ab)\lim_{x\to c}\left(a^b\right)=lim⁡x→c(ebln⁡(a))=\lim_{x\to c}\left(e^{b\ln\left(a\right)}\right), onde a=1+3sin⁡(x)a=1+3\sin\left(x\right), b=1xb=\frac{1}{x} e c=0c=0

lim⁡x→0(e1xln⁡(1+3sin⁡(x)))\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{1}{x}\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}\right)
2

Aplicamos a regra: abca\frac{b}{c}=bac=\frac{ba}{c}, onde a=ln⁡(1+3sin⁡(x))a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right), b=1b=1 e c=xc=x

lim⁡x→0(eln⁡(1+3sin⁡(x))x)\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}}\right)
3

Aplicamos a regra: lim⁡x→c(ab)\lim_{x\to c}\left(a^b\right)=(lim⁡x→c(a))lim⁡x→c(b)={\left(\lim_{x\to c}\left(a\right)\right)}^{\lim_{x\to c}\left(b\right)}, onde a=ea=e, b=ln⁡(1+3sin⁡(x))xb=\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x} e c=0c=0

(lim⁡x→0(e))lim⁡x→0(ln⁡(1+3sin⁡(x))x){\left(\lim_{x\to0}\left(e\right)\right)}^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)}
4

Aplicamos a regra: lim⁡x→c(a)\lim_{x\to c}\left(a\right)=a=a, onde a=ea=e e c=0c=0

elim⁡x→0(ln⁡(1+3sin⁡(x))x)e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)}
5

Se avaliarmos diretamente o limite lim⁡x→0(ln⁡(1+3sin⁡(x))x)\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right) como xx tende a 00, podemos ver que isso resulta em uma forma indeterminada

00\frac{0}{0}
6

Podemos resolver este limite aplicando a regra de L'Hôpital, que consiste em determinar a derivada do numerador e do denominador separadamente

lim⁡x→0(ddx(ln⁡(1+3sin⁡(x)))ddx(x))\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x\right)}\right)
7

Depois de diferenciar o numerador e o denominador, e simplificar, o limite resulta em

elim⁡x→0(3cos⁡(x)1+3sin⁡(x))e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)}
8

Avalie o limite substituindo todas as ocorrências de lim⁡x→0(3cos⁡(x)1+3sin⁡(x))\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right) por xx

e3e^{3}

Resposta final para o problema

e3e^{3}

Resposta numérica exata

20.085536920.0855369

Como devo resolver esse problema?

  • Escolha uma opção
  • Resolva usando a regra de l'Hôpital
  • Resolver sem usar l'Hôpital
  • Resolva usando propriedades de limites
  • Resolva usando substituição direta
  • Resolva o limite usando fatoração
  • Resolva o limite usando racionalização
  • Integrar por frações parciais
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Método FOIL
  • Carregue mais...
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64x4y8\sqrt{64x^4y^8}
limx→0(1+3sinx)1x 
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◻◻
√◻
√

◻√◻
◻√
∞
e
π
ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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