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$\lim_{x\to0}\left(\left(1+3\sin\left(x\right)\right)^{\frac{1}{x}}\right)$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$e^{3}$
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Solução explicada passo a passo

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Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$=\lim_{x\to c}\left(e^{b\ln\left(a\right)}\right)$, onde $a=1+3\sin\left(x\right)$, $b=\frac{1}{x}$ e $c=0$

$\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{1}{x}\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}\right)$
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Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ e $c=x$

$\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}}\right)$
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Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$={\left(\lim_{x\to c}\left(a\right)\right)}^{\lim_{x\to c}\left(b\right)}$, onde $a=e$, $b=\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}$ e $c=0$

${\left(\lim_{x\to0}\left(e\right)\right)}^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)}$
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Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, onde $a=e$ e $c=0$

$e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)}$
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Se avaliarmos diretamente o limite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)$ como $x$ tende a $0$, podemos ver que isso resulta em uma forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
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Podemos resolver este limite aplicando a regra de L'Hôpital, que consiste em determinar a derivada do numerador e do denominador separadamente

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x\right)}\right)$
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Depois de diferenciar o numerador e o denominador, o limite resulta em

$e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)}$
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Avalie o limite substituindo todas as ocorrências de $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ por $x$

$e^{\frac{3\cos\left(0\right)}{1+3\sin\left(0\right)}}$
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Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, onde $x=0$

$e^{\frac{3\cos\left(0\right)}{1+3\cdot 0}}$
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Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=3\cdot 0$, $a=3$ e $b=0$

$e^{\frac{3\cos\left(0\right)}{1+0}}$
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Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=0$ e $a+b=1+0$

$e^{\frac{3\cos\left(0\right)}{1}}$
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Aplicamos a identidade trigonométrica: $\cos\left(\theta \right)$$=\cos\left(\theta \right)$, onde $x=0$

$e^{\frac{3\cdot 1}{1}}$
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Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=3\cdot 1$, $a=3$ e $b=1$

$e^{\frac{3}{1}}$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=3$, $b=1$ e $a/b=\frac{3}{1}$

$e^{3}$

Resposta final para o problema

$e^{3}$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $\left(1+3\sin\left(x\right)\right)^{\frac{1}{x}}$

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