Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integrar por frações parciais
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
- Integrar pelo método tabular
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Método FOIL
- Carregue mais...
Podemos resolver a integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Derivar ambos os lados da equação $x=\sec\left(\theta \right)$
Encontre a derivada
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\sec\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=\theta $
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, $b=\sec\left(\theta \right)$ e $c=\sec\left(\theta \right)^2-1$
Substituindo na integral original, obtemos
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, onde $a=\tan\left(\theta \right)$ e $n=2$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{\sec\left(\theta \right)^n}{\tan\left(\theta \right)}$$=\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\csc\left(\theta \right)$, onde $x=\theta $ e $n=2$
Reescreva a expressão trigonométrica $\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ na integral
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)$$=\frac{1}{\cos\left(\theta \right)}$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\csc\left(\theta \right)$, $b=1$ e $c=\cos\left(\theta \right)$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\csc\left(\theta \right)$
Reduza a expressão $\sec\left(\theta \right)\csc\left(\theta \right)$ aplicando identidades trigonométricas
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\csc\left(\theta \right)$$=\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, onde $a=1$, $b=\sin\left(\theta \right)$, $c=\cos\left(\theta \right)$, $a/b/c=\frac{\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}}{\cos\left(\theta \right)}$ e $a/b=\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$$=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=1$, $b=\sin\left(2\theta \right)$, $c=2$, $a/b/c=\frac{1}{\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}}$ e $b/c=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{n}{\sin\left(\theta \right)}$$=n\csc\left(\theta \right)$, onde $x=2\theta $ e $n=2$
Reescreva a expressão trigonométrica $\frac{\csc\left(\theta \right)}{\cos\left(\theta \right)}$ na integral
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=2$ e $x=\csc\left(2\theta \right)$
Podemos resolver a integral $\int\csc\left(2\theta \right)d\theta$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2\theta $ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=2\theta $
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $x=\theta $ e $n=2$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=\theta $
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=du$ e $b=2\cdot d\theta$
Aplicamos a regra: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=du$ e $x=d\theta$
Resolvendo $d\theta$ da equação anterior
Substituímos $u$ e $d\theta$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=\csc\left(u\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\csc\left(u\right)du$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=2\cdot 1$, $a=2$ e $b=1$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=2$, $b=2$ e $a/b=\frac{2}{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\csc\left(u\right)du$
Aplicamos a regra: $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=u$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2\theta $
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2\theta $
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, onde $x=\theta $, $nx=2\theta $ e $n=2$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Aplicamos a regra: $\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$=-\ln\left(x\right)$, onde $x=\sqrt{x^2-1}$ e $1/x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\ln\left(\sqrt{x^2-1}\right)$
Aplicamos a regra: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, onde $a=\frac{1}{2}$ e $x=x^2-1$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
