Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Especifica o método de resolução
Podemos resolver a integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituindo na integral original, obtemos
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, onde $a=\tan\left(\theta \right)$ e $n=2$
Aplicando a identidade trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2 = 1+\tan\left(\theta \right)^2$
Expanda a fração $\frac{1+\tan\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ em $2$ frações mais simples com $\tan\left(\theta \right)$ como denominador comum
Simplifique as frações resultantes
Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{\tan\left(\theta \right)}+\tan\left(\theta \right)\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
A integral $\int\frac{1}{\tan\left(\theta \right)}d\theta$ resulta em: $\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)$
A integral $\int\tan\left(\theta \right)d\theta$ resulta em: $\ln\left(x\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$