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Calcule a integral $\int x\cos\left(2x^2+3\right)dx$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$
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Solução explicada passo a passo

Como devo resolver esse problema?

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  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar por partes
  • Integrar pelo método tabular
  • Integrar por substituição trigonométrica
  • Integração por Substituição de Weierstrass
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  • Produto de Binômios com Termo Comum
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Podemos resolver a integral $\int x\cos\left(2x^2+3\right)dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x^2+3$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x^2+3$
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Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=4xdx$
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Resolvendo $dx$ da equação anterior

$\frac{du}{4x}=dx$
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Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{\cos\left(u\right)}{4}du$
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Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=4$ e $x=\cos\left(u\right)$

$\frac{1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=1$, $b=4$ e $a/b=\frac{1}{4}$

$\frac{1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
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Aplicamos a regra: $\int\cos\left(\theta \right)dx$$=\sin\left(\theta \right)+C$, onde $x=u$

$\frac{1}{4}\sin\left(u\right)$
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Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x^2+3$

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)$
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Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$

Resposta final para o problema

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$

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Como melhorar sua resposta:

Conceito Principal: Cálculo Integral

Integração é um conceito fundamental de cálculo e análise matemática. Basicamente, uma integral é uma generalização da soma de infinitas adendas infinitamente pequenas.

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