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$\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}x$
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Solução explicada passo a passo

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Podemos reconhecer que a equação diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ é uma equação diferencial de Bernoulli, pois está escrita na forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ , onde $n$ é qualquer número real diferente de $0$ e $1$. Para resolver esta equação, podemos aplicar a seguinte substituição. Vamos definir uma nova variável $u$ e atribuir a ela o seguinte valor

$u=y^{\left(1-n\right)}$
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Substituímos o valor de $n$, que equivale a $-1$

$u=y^{\left(1-1\cdot -1\right)}$
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Simplificar

$u=y^{2}$
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Isolamos a variável dependente $y$

$y=\sqrt{u}$
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Diferencie ambos os lados da equação em relação à variável independente $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
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Agora, substituímos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ e $y=\sqrt{u}$ na equação diferencial original

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
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Simplificar

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
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Precisamos cancelar o termo antes de $\frac{du}{dx}$. Podemos fazer isso multiplicando toda a equação diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
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Multiplique ambos os lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$
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Expanda e simplifique. Agora, vemos que a equação diferencial tem a forma de uma equação diferencial linear, pois removemos o termo $y^{-1}$ que estava multiplicando na equação original

$\frac{1}{4}\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-u}{2x}=\frac{1}{6}x$
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Divida todos os termos da equação diferencial por $\frac{1}{4}$

$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\frac{du}{dx}+\frac{\frac{-u}{2x}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{6}x}{\frac{1}{4}}$
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Simplificando

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2}{3}x$
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Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ e $Q(x)=\frac{2}{3}x$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
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Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)$
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Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é

$\mu(x)=x^{-2}$
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Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2}{3}x^{-1}$
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Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2}{3}x^{-1}$
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Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2}{3}x^{-1}dx$
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Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3}x^{-1}dx$
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Resolva a integral $\int\frac{2}{3}x^{-1}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
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Substitua $u$ pelo valor $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
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Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
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Aplicamos a regra: $a\frac{1}{x}$$=\frac{a}{x}$

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
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Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}x$

Resposta final para o problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}x$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}+\frac{-x}{3y}$

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