Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Escolha uma opção
- Equação Diferencial Exata
- Equação Diferencial Linear
- Equação Diferencial Separável
- Equação Diferencial Homogênea
- Integrar por frações parciais
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Método FOIL
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
- Carregue mais...
Podemos reconhecer que a equação diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ é uma equação diferencial de Bernoulli, pois está escrita na forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ , onde $n$ é qualquer número real diferente de $0$ e $1$. Para resolver esta equação, podemos aplicar a seguinte substituição. Vamos definir uma nova variável $u$ e atribuir a ela o seguinte valor
Substituímos o valor de $n$, que equivale a $-1$
Simplificar
Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=u$ e $b=y^{2}$
Aplicamos a regra: $y^a=b$$\to y=b^{\frac{sign\left(a\right)}{\left|a\right|}}$, onde $a=2$ e $b=u$
Isolamos a variável dependente $y$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=\frac{1}{2}$ e $x=u$
Diferencie ambos os lados da equação em relação à variável independente $x$
Agora, substituímos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ e $y=\sqrt{u}$ na equação diferencial original
Simplificar
Precisamos cancelar o termo antes de $\frac{du}{dx}$. Podemos fazer isso multiplicando toda a equação diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Multiplique ambos os lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$, $b=\frac{-\sqrt{u}}{x}$, $x=\frac{1}{2}\sqrt{u}$ e $a+b=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}$
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=4$, $c=1$, $a/b=\frac{1}{4}$, $f=\sqrt{u}$, $c/f=\frac{1}{\sqrt{u}}$ e $a/bc/f=\frac{1}{4}\sqrt{u}\frac{1}{\sqrt{u}}\frac{du}{dx}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=-\sqrt{u}$, $a/b=\frac{1}{2}$, $f=x$, $c/f=\frac{-\sqrt{u}}{x}$ e $a/bc/f=\frac{1}{2}\sqrt{u}\frac{-\sqrt{u}}{x}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=x$, $b=3\sqrt{u}$, $c=1$, $a/b=\frac{x}{3\sqrt{u}}$, $f=2$, $c/f=\frac{1}{2}$ e $a/bc/f=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\sqrt{u}$, $b=-\sqrt{u}$ e $c=2x$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\sqrt{u}$, $b=x$ e $c=6\sqrt{u}$
Aplicamos a regra: $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, onde $a^n=\sqrt{u}$, $a^m=\sqrt{u}$, $a=u$, $a^m/a^n=\frac{x\sqrt{u}}{6\sqrt{u}}$, $m=\frac{1}{2}$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$$=\frac{a+c}{b}$, onde $a=1$, $b=2$ e $c=-1$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=-1$ e $a+b=1-1$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=0$, $b=2$ e $a/b=\frac{0}{2}$
Aplicamos a regra: $x^0$$=1$, onde $x=u$
Expanda e simplifique. Agora, vemos que a equação diferencial tem a forma de uma equação diferencial linear, pois removemos o termo $y^{-1}$ que estava multiplicando na equação original
Aplicamos a regra: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, onde $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ e $f=\frac{x}{6}$
Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, onde $a=-u$, $b=2x$, $c=\frac{1}{4}$, $a/b/c=\frac{\frac{-u}{2x}}{\frac{1}{4}}$ e $a/b=\frac{-u}{2x}$
Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, onde $a=x$, $b=6$, $c=\frac{1}{4}$, $a/b/c=\frac{\frac{x}{6}}{\frac{1}{4}}$ e $a/b=\frac{x}{6}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=x$, $b=3$, $c=2$, $a/b/c=\frac{x}{\frac{3}{2}}$ e $b/c=\frac{3}{2}$
Aplicamos a regra: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, onde $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ e $f=\frac{x}{6}$
Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ e $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$
Calcule a integral
Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=-1$, $b=1$, $c=2$, $a/b/c=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ e $b/c=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=-2$
Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$
Aplicamos a regra: $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, onde $a=-2$, $b=x$ e $2.718281828459045=e$
Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^{-2}$, $b=2x$ e $c=3$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=4$, $b=x$ e $c=6$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=4$, $b=-u$ e $c=2x$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- 4u$, $a=-1$ e $b=4$
Aplicamos a regra: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, onde $ab=-4u$, $a=-4$, $b=u$, $c=2$ e $ab/c=\frac{-4u}{2x}$
Aplicamos a regra: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, onde $ab=4x$, $a=4$, $b=x$, $c=6$ e $ab/c=\frac{4x}{6}$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ e $n=-2$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ e $n=-2$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ e $n=-2$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ e $n=-2$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ e $n=-2$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=-2$, $b=1$ e $a+b=-2+1$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=-2$, $b=1$ e $a+b=-2+1$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=-2$, $b=1$ e $a+b=-2+1$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=-2$, $b=1$ e $a+b=-2+1$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=-2$, $b=1$ e $a+b=-2+1$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=-u$, $b=1$, $c=2$, $a/b/c=\frac{-u}{\frac{1}{2}x}$ e $b/c=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^{-2}$, $b=- 2u$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^{-2}$, $b=-2u$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^{-2}$, $b=- 2u$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^{-2}$, $b=2x$ e $c=3$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=4$, $b=x$ e $c=6$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=4$, $b=-u$ e $c=2x$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- 4u$, $a=-1$ e $b=4$
Aplicamos a regra: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, onde $ab=-4u$, $a=-4$, $b=u$, $c=2$ e $ab/c=\frac{-4u}{2x}$
Aplicamos a regra: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, onde $ab=4x$, $a=4$, $b=x$, $c=6$ e $ab/c=\frac{4x}{6}$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- 2u$, $a=-1$ e $b=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{-2ux^{-2}}{x}$, $a^n=x^{-2}$, $a=x$ e $n=-2$
Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar
Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$
Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$
Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial
Aplicamos a regra: $\frac{x^a}{b}$$=\frac{1}{bx^{-a}}$, onde $a=-1$ e $b=3$
Aplicamos a regra: $x^1$$=x$
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=2$, $b=x$ e $c=3$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=3$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{3}$ e $ca/b=2\left(\frac{1}{3}\right)\ln\left(x\right)$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int\frac{2}{3x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Substitua $u$ pelo valor $y^{2}$
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=y^{2}$, $b=1$ e $c=x^{\left|-2\right|}$
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=y^{2}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Aplicamos a regra: $\frac{a^x}{b^x}$$=\left(\frac{a}{b}\right)^x$, onde $a=y$, $b=x$ e $x=2$
Aplicamos a regra: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, onde $a=2$, $b=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$ e $x=\frac{y}{x}$
Aplicamos a regra: $\left(x^a\right)^b$$=x$, onde $a=2$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}$, $x=\frac{y}{x}$ e $x^a=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$
Aplicamos a regra: $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, onde $a=\frac{y}{x}$ e $b=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$
Resolva a equação ($1$)
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y$, $b=x$ e $c=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}$
Resolva a equação ($2$)
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y$, $b=x$ e $c=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}$
Combinando todas as soluções, as soluções $2$ da equação são
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
