Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Integrar por partes
- Integrar por frações parciais
- Integrar por mudança de variável
- Integrar pelo método tabular
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Método FOIL
- Carregue mais...
Reescrevemos a fração $\frac{x}{x^2-1}$ na integral como um produto de duas funções: $x\frac{1}{x^2-1}$
Podemos resolver a integral $\int x\frac{1}{x^2-1}dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
Calcule a integral para encontrar $v$
Simplifique $\sqrt{x^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $a^b$$=a^b$, onde $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ e $a^b=\sqrt{1}$
Simplifique $\sqrt{x^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $a^b$$=a^b$, onde $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ e $a^b=\sqrt{1}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=-1$
Fatore a diferença de quadrados $x^2-1$ como o produto de dois binômios conjugados
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$
Multiplicando polinômios
Simplificando
Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
A integral de $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=-1$, $b=x+1$ e $c=2$
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=x-1$ e $c=2$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=1$ e $n=-1$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=-1$ e $n=1$
Expanda a integral $\int\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=-1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=-\frac{1}{2}$ e $ca/b=- \left(-\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x+1\right)dx$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
Multiplique o termo $x$ por cada termo do polinômio $\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)$
Aplicamos a regra: $\int\ln\left(x+b\right)dx$$=\left(x+b\right)\ln\left(x+b\right)-\left(x+b\right)+C$, onde $b=1$ e $x+b=x+1$
Aplicamos a regra: $\int\ln\left(x+b\right)dx$$=\left(x+b\right)\ln\left(x+b\right)-\left(x+b\right)+C$, onde $b=-1$ e $x+b=x-1$
Aplicamos a regra: $-\left(a+b\right)$$=-a-b$, onde $a=x$, $b=1$, $-1.0=-1$ e $a+b=x+1$
Aplicamos a regra: $-\left(a+b\right)$$=-a-b$, onde $a=x$, $b=-1$, $-1.0=-1$ e $a+b=x-1$
Simplificamos a expressão
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
