Resposta final para o problema
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)+C_0$
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Solução explicada passo a passo
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Escolha uma opção Integrar por frações parciais Integrar usando integrais básicas Integrar por mudança de variável Integrar por partes Integrar com identidades trigonométricas Integrar por substituição trigonométrica Sugira outro método
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1
Reescrevemos a fração $\frac{x}{x^2-1}$ na integral como um produto de duas funções: $x\frac{1}{x^2-1}$
$\int x\frac{1}{x^2-1}dx$
2
Podemos resolver a integral $\int x\frac{1}{x^2-1}dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Passos
3
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
Explique melhor esta etapa
4
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\frac{1}{x^2-1}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \frac{1}{x^2-1}dx}\end{matrix}$
$v=\int\frac{1}{x^2-1}dx$
Passos
6
Fatore a diferença de quadrados $x^2-1$ como o produto de dois binômios conjugados
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
Explique melhor esta etapa
7
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ em $2$ frações mais simples
$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
8
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$
$1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
9
Multiplicando polinômios
$1=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)A}{x+1}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)B}{x-1}$
$1=\left(x-1\right)A+\left(x+1\right)B$
11
Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações
$\begin{matrix}1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
12
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
13
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
14
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
15
A integral de $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a
$\int\left(\frac{-1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}\right)dx$
16
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=-1$, $b=x+1$ e $c=2$
$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$
17
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=x-1$ e $c=2$
$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
18
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=1$ e $n=-1$
$-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
19
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=-1$ e $n=1$
$-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
Passos
20
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)x-\int-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)dx-\int\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)dx$
Explique melhor esta etapa
21
Multiplique o termo $x$ por cada termo do polinômio $\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
22
Aplicamos a regra: $\int\ln\left(x+b\right)dx$$=\left(x+b\right)\ln\left(x+b\right)-\left(x+b\right)+C$, onde $b=1$ e $x+b=x+1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
23
Aplicamos a regra: $\int\ln\left(x+b\right)dx$$=\left(x+b\right)\ln\left(x+b\right)-\left(x+b\right)+C$, onde $b=-1$ e $x+b=x-1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\right)$
Passos
24
Simplificamos a expressão dentro da integral
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)$
Explique melhor esta etapa
25
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)+C_0$
Resposta final para o problema$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)+C_0$