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$\int xe^{2x}dx$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$
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Solução explicada passo a passo

Como devo resolver esse problema?

  • Integrar por partes
  • Integrar por frações parciais
  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar pelo método tabular
  • Integrar por substituição trigonométrica
  • Integração por Substituição de Weierstrass
  • Integrar com identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrais básicas
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Método FOIL
  • Carregue mais...
Não consegue encontrar um método? Diga-nos para que possamos adicioná-lo.
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Podemos resolver a integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
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Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
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A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$
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Calcule a integral

$v=\int e^{2x}dx$
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Podemos resolver a integral $\int e^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x$
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Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=2dx$
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Resolvendo $dx$ da equação anterior

$du=2dx$
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Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$
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Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=e^u$

$\frac{1}{2}\int e^udu$
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Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$, onde $x=u$

$\frac{1}{2}e^u$
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Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$
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Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$
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Podemos resolver a integral $\int e^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x$
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Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=2dx$
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Resolvendo $dx$ da equação anterior

$du=2dx$
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Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$
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A integral $-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$ resulta em: $-\frac{1}{4}e^{2x}$

$-\frac{1}{4}e^{2x}$
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Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}$
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Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Resposta final para o problema

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

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