$\int\mathrm{coth}\left(3x\right)dx$

Diferencie ambos os lados da equação $u=3x$

Encontre a derivada

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=3$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=du$ e $b=3dx$

Aplicamos a regra: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=3$, $b=du$ e $x=dx$

Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\mathrm{coth}\left(\theta \right)\right)$$=-\mathrm{csch}\left(\theta \right)^2\frac{d}{dx}\left(\theta \right)$, onde $x=u$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=u$

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-1$ e $x=u\mathrm{csch}\left(u\right)^2$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $3x$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $3x$

Podemos resolver a integral $\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$

A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

Calcule a integral para encontrar $v$

Aplicamos a regra: $\int\mathrm{csch}\left(\theta \right)^2dx$$=-\mathrm{coth}\left(\theta \right)+C$, onde $x=u$

Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral

Multiplique o termo $\frac{1}{3}$ por cada termo do polinômio $\left(-u\mathrm{coth}\left(u\right)+\int\mathrm{coth}\left(u\right)du\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $3x$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=-1$, $b=3$, $c=3$, $a/b=-\frac{1}{3}$ e $ca/b=3-\frac{1}{3}x\mathrm{coth}\left(3x\right)$

Aplicamos a identidade trigonométrica: $\mathrm{coth}\left(\theta \right)$$=\frac{\mathrm{cosh}\left(\theta \right)}{\mathrm{sinh}\left(\theta \right)}$, onde $x=u$

Podemos resolver a integral $\int\frac{\mathrm{cosh}\left(u\right)}{\mathrm{sinh}\left(u\right)}du$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $v$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $\mathrm{sinh}\left(u\right)$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $v$ e atribuir a ela o candidato

Agora, para reescrever $du$ em termos de $dv$, precisamos encontrar a derivada de $v$. Portanto, precisamos calcular $dv$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

Resolvendo $du$ da equação anterior

Substituímos $v$ e $du$ na integral e depois simplificamos

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=v$ e $n=1$

Substitua $v$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\mathrm{sinh}\left(u\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $3x$