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$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$-3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$
Você tem outra resposta? Confira aqui!

Solução explicada passo a passo

Como devo resolver esse problema?

  • Escolha uma opção
  • Integrar por frações parciais
  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar por partes
  • Integrar pelo método tabular
  • Integrar por substituição trigonométrica
  • Integração por Substituição de Weierstrass
  • Integrar com identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrais básicas
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Carregue mais...
Não consegue encontrar um método? Diga-nos para que possamos adicioná-lo.
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Podemos resolver a integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável

$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
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Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$dx=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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Substituindo na integral original, obtemos

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\tan\left(\theta \right)^2+6}}d\theta$
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Fatore o polinômio $6\tan\left(\theta \right)^2+6$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $6$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}}d\theta$
5

Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=6$, $b=\tan\left(\theta \right)^2+1$ e $n=\frac{1}{2}$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}}d\theta$
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Aplicando a identidade trigonométrica: $1+\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2$

$\int\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}}d\theta$
Por que é tan(x)^2+1 = sec(x)^2 ?
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Aplicamos a regra: $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, onde $a=6\sqrt{6}$, $b=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2$ e $c=\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}}d\theta$
8

Simplifique $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}d\theta$
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Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$, $a^n=\sec\left(\theta \right)^2$, $a=\sec\left(\theta \right)$ e $n=2$

$6\sqrt{6}\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)}{\sqrt{6}}d\theta$
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Simplificamos a expressão dentro da integral

$6\sqrt{6}\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
11

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=\sin\left(\theta \right)^2$, $b=\cos\left(\theta \right)^{3}$ e $c=\sqrt{6}$

$6\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
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Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=6\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$, $a=6\sqrt{6}$ e $b=\frac{\sqrt{6}}{6}$

$6\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
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Reescreva a expressão trigonométrica $\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ na integral

$6\int\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$
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Expanda a fração $\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ em $2$ frações mais simples com $\cos\left(\theta \right)^{3}$ como denominador comum

$6\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}\right)d\theta$
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Simplifique as frações resultantes

$6\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}\right)d\theta$
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Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

$6\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta+6\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$
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A integral $6\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$ resulta em: $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
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Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+6\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$
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A integral $6\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$ resulta em: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
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Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
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Reduzindo termos semelhantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$ e $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x$
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O mínimo múltiplo comum (MMC) de uma soma de frações algébricas consiste no produto dos fatores comuns com o maior expoente e dos fatores não comuns

$M.M.C.=\sqrt{6}$
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Combine e simplifique todos os termos da mesma fração com $\sqrt{6}$ como denominador comum

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x$
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Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$-3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_0$
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Aplicamos a regra: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, onde $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+6}+x$

$-3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$

Resposta final para o problema

$-3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $-3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+C_1$

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