Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Escolha uma opção
- Integrar por frações parciais
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
- Integrar pelo método tabular
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
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Podemos resolver a integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituindo na integral original, obtemos
Simplificando
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=6$ e $x=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$
Podemos identificar que a integral tem a forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se a potência $n$ for ímpar e $m$ for par, então devemos expressar todas as funções em termos de secantes, expandir e integrar separadamente
Multiplique o termo $\sec\left(\theta \right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expanda a integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
A integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ resulta em: $x\sqrt{x^2+6}+\frac{-x}{2\sqrt{x^2+6}}x^2+6\left(\frac{-x}{2\sqrt{x^2+6}}\right)+3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right|$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$$=\frac{a+c}{b}$, onde $a=\sqrt{x^2+6}$, $b=\sqrt{6}$ e $c=x$
A integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ resulta em: $-6\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Reduzindo termos semelhantes $3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$ e $-6\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Aplicamos a regra: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, onde $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+6}+x$