Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Especifica o método de resolução
Podemos resolver a integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituindo na integral original, obtemos
Fatore o polinômio $6\tan\left(\theta \right)^2+6$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $6$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=6$, $b=\tan\left(\theta \right)^2+1$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicando a identidade trigonométrica: $1+\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2$
Aplicamos a regra: $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, onde $a=6\sqrt{6}$, $b=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2$ e $c=\sqrt{6}\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$
Simplifique $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$, $a^n=\sec\left(\theta \right)^2$, $a=\sec\left(\theta \right)$ e $n=2$
Simplificamos a expressão dentro da integral
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=\sin\left(\theta \right)^2$, $b=\cos\left(\theta \right)^{3}$ e $c=\sqrt{6}$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=6\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$, $a=6\sqrt{6}$ e $b=\frac{\sqrt{6}}{6}$
Reescreva a expressão trigonométrica $\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ na integral
Expanda a fração $\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ em $2$ frações mais simples com $\cos\left(\theta \right)^{3}$ como denominador comum
Simplifique as frações resultantes
Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
A integral $6\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$ resulta em: $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
A integral $6\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$ resulta em: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Reduzindo termos semelhantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$ e $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
O mínimo múltiplo comum (MMC) de uma soma de frações algébricas consiste no produto dos fatores comuns com o maior expoente e dos fatores não comuns
Combine e simplifique todos os termos da mesma fração com $\sqrt{6}$ como denominador comum
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Aplicamos a regra: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, onde $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+6}+x$