Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Escolha uma opção
- Integrar por frações parciais
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
- Integrar pelo método tabular
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Carregue mais...
Podemos resolver a integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Derivar ambos os lados da equação $x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=\theta $
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=\sqrt{6}$, $b=\tan\left(\theta \right)$ e $n=2$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2$, $b=6\tan\left(\theta \right)^2$ e $c=\sqrt{\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=\sqrt{6}$, $b=\tan\left(\theta \right)$ e $n=2$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $n+n\tan\left(\theta \right)^2$$=n\sec\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $ e $n=6$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=6$, $b=\sec\left(\theta \right)^2$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a=\sqrt{6}$ e $a/a=\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$
Substituindo na integral original, obtemos
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)}$, $a^n=\sec\left(\theta \right)^2$, $a=\sec\left(\theta \right)$ e $n=2$
Simplificando
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=6$ e $x=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$
Aplicando a identidade trigonométrica: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Podemos identificar que a integral tem a forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se a potência $n$ for ímpar e $m$ for par, então devemos expressar todas as funções em termos de secantes, expandir e integrar separadamente
Multiplique o termo $\sec\left(\theta \right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ e $n=2$
Multiplique o termo $\sec\left(\theta \right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expanda a integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, onde $dx=d\theta$, $x=\theta $ e $n=3$
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$, $b=\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$, $x=6$ e $a+b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
Aplicamos a regra: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, onde $a=6$, $b=2$, $ax/b=6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$, $x=\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}$ e $x/b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
A integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ resulta em: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $
Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$
A integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ resulta em: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Reduzindo termos semelhantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ e $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Aplicamos a regra: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, onde $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+6}+x$
