Conceitos

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Exercício

$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Solução explicada passo a passo

1

Podemos resolver a integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável

$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
2

Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $dx$, precisamos encontrar a derivada de $x$. Portanto, precisamos calcular $dx$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$dx=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3

Substituindo na integral original, obtemos

$\int\frac{6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)}d\theta$
4

Simplificando

$\int6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
5

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=6$ e $x=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
6

Podemos identificar que a integral tem a forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se a potência $n$ for ímpar e $m$ for par, então devemos expressar todas as funções em termos de secantes, expandir e integrar separadamente

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$
7

Multiplique o termo $\sec\left(\theta \right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$
8

Expanda a integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

$6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
9

A integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ resulta em: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
10

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
11

A integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ resulta em: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
12

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$
13

Reduzindo termos semelhantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ e $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}$
14

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$
15

Aplicamos a regra: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, onde $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+6}+x$

$-3\ln\left|\sqrt{x^2+6}+x\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

Resposta final para o problema

$-3\ln\left|\sqrt{x^2+6}+x\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

Como devo resolver esse problema?

  • Escolha uma opção
  • Integrar por frações parciais
  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar por partes
  • Integrar pelo método tabular
  • Integrar por substituição trigonométrica
  • Integração por Substituição de Weierstrass
  • Integrar com identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrais básicas
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Carregue mais...
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◻√◻
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log◻
lim
d/dx
D□x
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∫◻
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<=
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tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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