Calculadora de Matrizes

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{x\left(x^2+x+1\right)}$ em $2$ frações mais simples

Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B, C$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $x\left(x^2+x+1\right)$

Multiplicando polinômios

Simplificando

Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações

Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares

Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz

Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan

A integral de $\frac{1}{x\left(x^2+x+1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{b}dx$$=-\int\frac{\left|a\right|}{b}dx$, onde $a=-x-1$ e $b=x^2+x+1$

Aplicamos a regra: $x^2+x+c$$=x^2+x+c+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$, onde $c=1$

Aplicamos a regra: $x^2+x+c+f+g$$=\left(x+\sqrt{f}\right)^2+c+g$, onde $c=1$, $f=\frac{1}{4}$, $g=-\frac{1}{4}$ e $x^2+x=x^2+x+1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$

Aplicamos a regra: $a^b$$=a^b$, onde $a=\frac{1}{4}$, $b=\frac{1}{2}$ e $a^b=\sqrt{\frac{1}{4}}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}+c$$=\frac{a+cb}{b}$, onde $a/b+c=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1-\frac{1}{4}$, $a=-1$, $b=4$, $c=1$ e $a/b=-\frac{1}{4}$

Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=1\cdot 4$, $a=1$ e $b=4$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=4$, $b=-1$ e $a+b=-1+4$

Podemos resolver a integral $\int\frac{x+1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x+\frac{1}{2}$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

Reescreva $x$ em termos de $u$

Substituímos $u$, $dx$ e $x$ na integral e depois simplificamos

Expanda a fração $\frac{u+\frac{1}{2}}{u^2+\frac{3}{4}}$ em $2$ frações mais simples com $u^2+\frac{3}{4}$ como denominador comum

Expanda a integral $\int\left(\frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}+\frac{\frac{1}{2}}{u^2+\frac{3}{4}}\right)du$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{a}dx$$=n\int\frac{1}{a}dx$, onde $a=u^2+\frac{3}{4}$ e $n=\frac{1}{2}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=- \left(\frac{1}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{1}{a+b^2}dx$$=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+\frac{b^2}{a}}dx$, onde $a=\frac{3}{4}$ e $b=u$

Simplificamos a expressão

Podemos resolver a integral $-\int\frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}du$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável

Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

Substituindo na integral original, obtemos

Simplificando

Simplificamos a expressão

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{a+b}dx$$=n\int\frac{1}{a+b}dx$, onde $a=3$, $b=4u^2$ e $n=3$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=-2$, $b=3$, $c=3$, $a/b=-\frac{2}{3}$ e $ca/b=3\left(-\frac{2}{3}\right)\int\frac{1}{3+4u^2}du$

Aplicamos a regra: $\int\tan\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\cos\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\ln\left(\cos\left(\theta \right)\right)$

Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$

Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, onde $a=\sqrt{3}$, $b=2$, $c=\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}$, $a/b/c=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}}$ e $a/b=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $x+\frac{1}{2}$

Resolva a integral aplicando a substituição $v^2=\frac{4u^2}{3}$. Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, simplificando ficamos com

Agora, para reescrever $du$ em termos de $dv$, precisamos encontrar a derivada de $v$. Portanto, precisamos calcular $dv$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

Resolvendo $du$ da equação anterior

Depois de substituir tudo e simplificar, a integral resulta em

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, onde $b=1$, $x=v$ e $n=1$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\arctan\left(v\right)$, $b=-\sqrt{3}$ e $c=3$

Substitua $v$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\frac{2u}{\sqrt{3}}$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $x+\frac{1}{2}$

Aplicamos a regra: $x\left(\frac{a}{x}+b\right)$$=a+bx$, onde $a=1$, $b=x$ e $x=2$