Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de matrizes. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{x\left(x-1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $x\left(x-1\right)$
Multiplicando polinômios
Simplificando
Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
A integral de $\frac{1}{x\left(x-1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a
Expanda a integral $\int\left(\frac{-1}{x}+\frac{1}{x-1}\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=y$ e $n=1$
Resolva a integral $\int\frac{1}{y}dy$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=-1$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=-1$ e $n=1$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int\frac{-1}{x}dx+\int\frac{1}{x-1}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $\ln\left(a\right)-\ln\left(b\right)$$=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$, onde $a=x-1$ e $b=x$
Aplicamos a regra: $\ln\left(a\right)=b$$\to e^{\ln\left(a\right)}=e^b$, onde $a=y$ e $b=\ln\left(\frac{x-1}{x}\right)+C_0$
Aplicamos a regra: $e^{\ln\left(x\right)}$$=x$, onde $x=y$
Aplicamos a regra: $e^{\left(\ln\left(b\right)+c\right)}$$=be^c$, onde $b=\frac{x-1}{x}$, $2.718281828459045=e$ e $c=C_0$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=e^{C_0}$, $b=x-1$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $e^c$$=cteint$, onde $2.718281828459045^c=e^{C_0}$, $2.718281828459045=e$ e $c=C_0$
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
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Problemas mais populares resolvidos com esta calculadora: