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Calculadora de Equações Diferenciais de primeira ordem

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Exemplo resolvido de equações diferenciais de primeira ordem

$\frac{dy}{dx}=\frac{5x^2}{4y}$
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Reescreva a equação diferencial na forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$4ydy-5x^2dx=0$
3

A equação diferencial $4ydy-5x^2dx=0$ é exata, pois está escrita em sua forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, onde $M(x,y)$ e $ N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis ​​$f(x,y)$ e ambas satisfazem o teste de correção: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y }=\frac{\partial N}{\partial x}$. Em outras palavras, suas segundas derivadas parciais são iguais. A solução geral da equação diferencial tem a forma: $f(x,y)=C$

$4ydy-5x^2dx=0$

Diferencie $M(x,y)$ em relação a $y$

$\frac{d}{dy}\left(-5x^2\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=-5x^2$

0

Diferencie $N(x,y)$ em relação a $x$

$\frac{d}{dx}\left(4y\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=4y$

0
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Usando o teste de precisão, verificamos que a equação diferencial é exata

$0=0$

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-5$ e $x=x^2$

$-5\int x^2dx$

Aplicamos a regra: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, onde $n=2$

$-\frac{5}{3}x^{3}$

Como $y$ é tratado como uma constante, devemos adicionar uma função de $y$ como constante de integração

$-\frac{5}{3}x^{3}+g(y)$
5

Integramos $M(x,y)$ em relação a $x$ para obter

$-\frac{5}{3}x^{3}+g(y)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=-\frac{5}{3}x^{3}$

0

A derivada de $g(y)$ é $g'(y)$

$0+g'(y)$
6

Calcule a derivada parcial de $-\frac{5}{3}x^{3}$ em relação a $y$ para obter

$0+g'(y)$

Simplifique e resolva por $g'(y)$

$4y=0+g$

Aplicamos a regra: $x+0$$=x$, onde $x=g$

$4y=g$

Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=4y$ e $b=g$

$g=4y$
7

Igualamos $4y$ e $0+g'(y)$ e então resolvemos para $g'(y)$

$g'(y)=4y$

Integre ambos os lados em relação a $y$

$g=\int4ydy$

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=4$ e $x=y$

$g=4\int ydy$

Aplicamos a regra: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$, onde $x=y$

$g=2y^2$
8

Encontre $g(y)$ integrando ambos os lados

$g(y)=2y^2$
9

Encontramos nosso $f(x,y)$ e é equivalente a

$f(x,y)=-\frac{5}{3}x^{3}+2y^2$
10

Portanto, a solução da equação diferencial é

$-\frac{5}{3}x^{3}+2y^2=C_0$

Agrupe os termos da equação

$2y^2=C_0+\frac{5}{3}x^{3}$

Aplicamos a regra: $ax=b$$\to \frac{ax}{a}=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=C_0+\frac{5}{3}x^{3}$ e $x=y^2$

$\frac{2y^2}{2}=\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}$

Aplicamos a regra: $\frac{ax}{a}=\frac{b}{a}$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=C_0+\frac{5}{3}x^{3}$ e $x=y^2$

$y^2=\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}$

Aplicamos a regra: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, onde $a=2$, $b=\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}$ e $x=y$

$\sqrt{y^2}=\pm \sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$

Aplicamos a regra: $\left(x^a\right)^b$$=x$, onde $a=2$, $b=\frac{1}{2}$, $x^a^b=\sqrt{y^2}$, $x=y$ e $x^a=y^2$

$y=\pm \sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$

Aplicamos a regra: $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, onde $a=y$ e $b=\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$

$y=\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}},\:y=-\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$

Combinando todas as soluções, as soluções $2$ da equação são

$y=\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}},\:y=-\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$
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Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$

$y=\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}},\:y=-\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$

Resposta final

$y=\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}},\:y=-\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$

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