Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equações diferenciais de primeira ordem. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Reescreva a equação diferencial na forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
A equação diferencial $4ydy-5x^2dx=0$ é exata, pois está escrita em sua forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, onde $M(x,y)$ e $ N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis $f(x,y)$ e ambas satisfazem o teste de correção: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y }=\frac{\partial N}{\partial x}$. Em outras palavras, suas segundas derivadas parciais são iguais. A solução geral da equação diferencial tem a forma: $f(x,y)=C$
Diferencie $M(x,y)$ em relação a $y$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=-5x^2$
Diferencie $N(x,y)$ em relação a $x$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=4y$
Usando o teste de precisão, verificamos que a equação diferencial é exata
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-5$ e $x=x^2$
Aplicamos a regra: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, onde $n=2$
Como $y$ é tratado como uma constante, devemos adicionar uma função de $y$ como constante de integração
Integramos $M(x,y)$ em relação a $x$ para obter
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=-\frac{5}{3}x^{3}$
A derivada de $g(y)$ é $g'(y)$
Calcule a derivada parcial de $-\frac{5}{3}x^{3}$ em relação a $y$ para obter
Simplifique e resolva por $g'(y)$
Aplicamos a regra: $x+0$$=x$, onde $x=g$
Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=4y$ e $b=g$
Igualamos $4y$ e $0+g'(y)$ e então resolvemos para $g'(y)$
Integre ambos os lados em relação a $y$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=4$ e $x=y$
Aplicamos a regra: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$, onde $x=y$
Encontre $g(y)$ integrando ambos os lados
Encontramos nosso $f(x,y)$ e é equivalente a
Portanto, a solução da equação diferencial é
Agrupe os termos da equação
Aplicamos a regra: $ax=b$$\to \frac{ax}{a}=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=C_0+\frac{5}{3}x^{3}$ e $x=y^2$
Aplicamos a regra: $\frac{ax}{a}=\frac{b}{a}$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=C_0+\frac{5}{3}x^{3}$ e $x=y^2$
Aplicamos a regra: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, onde $a=2$, $b=\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}$ e $x=y$
Aplicamos a regra: $\left(x^a\right)^b$$=x$, onde $a=2$, $b=\frac{1}{2}$, $x^a^b=\sqrt{y^2}$, $x=y$ e $x^a=y^2$
Aplicamos a regra: $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, onde $a=y$ e $b=\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$
Combinando todas as soluções, as soluções $2$ da equação são
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
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