Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial homogênea. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos identificar que a equação diferencial $\left(x-y\right)dx+x\cdot dy=0$ é homogênea, pois está escrita em sua forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, onde $M(x,y)$ e $N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis $f(x,y)$ e ambas são funções homogêneas de mesmo grau
Fazemos a substituição: $y=ux$
Multiplique o termo $x$ por cada termo do polinômio $\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)$
Fatore o polinômio $\left(x-ux\right)$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $x$
Aplicamos a regra: $ax+bx$$=\left(a+b\right)x$, onde $a=x\left(1-u\right)$, $b=ux$ e $x=dx$
Aplicamos a regra: $x+a=b$$\to x=b-a$, onde $a=x^2du$, $b=0$, $x+a=b=\left(x\left(1-u\right)+ux\right)dx+x^2du=0$, $x=\left(x\left(1-u\right)+ux\right)dx$ e $x+a=\left(x\left(1-u\right)+ux\right)dx+x^2du$
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=1$, $b=-u$ e $a+b=1-u$
Reduzindo termos semelhantes $-xu$ e $ux$
Expanda e simplifique
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=1$, $b=1$ e $a/b=\frac{1}{1}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=1$, $b=-x^2$, $c=x$, $a/b/c=\frac{1}{\frac{-x^2}{x}}$ e $b/c=\frac{-x^2}{x}$
Simplifique a expressão ${0}$
Agrupe os termos da equação diferencial. Mova os termos da variável $u$ para o lado esquerdo e os termos da variável $x$ para o lado direito da igualdade
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, onde $a=x$ e $n=2$
Simplifique a expressão $\frac{x}{-x^2}dx$
Aplicamos a regra: $dy=a\cdot dx$$\to \int1dy=\int adx$, onde $a=\frac{1}{-x}$
Aplicamos a regra: $\int cdx$$=cvar+C$, onde $c=1$
Resolva a integral $\int1du$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=x$ e $c=-1$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int\frac{1}{-x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Substitua $u$ pelo valor $\frac{y}{x}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y$, $b=x$ e $c=-\ln\left(x\right)+C_0$
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
Tenha acesso a milhares de soluções de exercícios passo a passo e elas crescem a cada dia!
Problemas mais populares resolvidos com esta calculadora: