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Calculadora de Equação Diferencial Homogênea

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Equação Diferencial Homogênea passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

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atan
acot
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sinh
cosh
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coth
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial homogênea. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{xy}$
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Podemos identificar que a equação diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{xy}$ é homogênea, pois está escrita em sua forma padrão $\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, onde $M(x,y)$ e $N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis $f(x,y)$ e ambas são funções homogêneas de mesmo grau

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{xy}$
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Fazemos a substituição: $y=ux$

$\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{x^2+\left(ux\right)^2}{xux}$

Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$

$\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{x^2+\left(ux\right)^2}{x^2u}$

Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$

$\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{x^2+u^2x^2}{x^2u}$

Fatore o polinômio $x^2+u^2x^2$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $x^2$

$\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{x^2\left(1+u^2\right)}{x^2u}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a/a=\frac{1+u^2}{u}$

$\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}=\frac{1+u^2}{u}$

Expanda a fração $\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}$ em $2$ frações mais simples com $dx$ como denominador comum

$\frac{u\cdot dx}{dx}+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{1+u^2}{u}$

Simplifique as frações resultantes

$u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{1+u^2}{u}$

Aplicamos a regra: $x+a=b$$\to x=b-a$, onde $a=u$, $b=\frac{1+u^2}{u}$, $x+a=b=u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{1+u^2}{u}$, $x=\frac{x\cdot du}{dx}$ e $x+a=u+\frac{x\cdot du}{dx}$

$\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{1+u^2}{u}-u$

Combine todos os termos em uma única fração com $u$ como denominador comum

$\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{1+u^2-u^2}{u}$
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Expanda e simplifique

$\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{1+u^2-u^2}{u}$
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Agrupe os termos da equação diferencial. Mova os termos da variável $u$ para o lado esquerdo e os termos da variável $x$ para o lado direito da igualdade

$\frac{u}{1+u^2-u^2}du=\frac{1}{x}dx$

Reduzindo termos semelhantes $u^2$ e $-u^2$

$\frac{u}{1}du$

Aplicamos a regra: $\frac{x}{1}$$=x$, onde $x=u$

$u\cdot du$
6

Simplifique a expressão $\frac{u}{1+u^2-u^2}du$

$u\cdot du=\frac{1}{x}dx$
7

Aplicamos a regra: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, onde $a=\frac{1}{x}$, $b=u$, $dy=du$, $dyb=dxa=u\cdot du=\frac{1}{x}dx$, $dyb=u\cdot du$ e $dxa=\frac{1}{x}dx$

$\int udu=\int\frac{1}{x}dx$

Aplicamos a regra: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$, onde $x=u$

$\frac{1}{2}u^2$
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Resolva a integral $\int udu$ e substitua o resultado na equação diferencial

$\frac{1}{2}u^2=\int\frac{1}{x}dx$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$

$\ln\left|x\right|$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\ln\left|x\right|+C_0$
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Resolva a integral $\int\frac{1}{x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial

$\frac{1}{2}u^2=\ln\left|x\right|+C_0$
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Substitua $u$ pelo valor $\frac{y}{x}$

$\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2=\ln\left(x\right)+C_0$
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Aplicamos a regra: $\left(\frac{a}{b}\right)^n$$=\frac{a^n}{b^n}$, onde $a=y$, $b=x$ e $n=2$

$\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)=\ln\left|x\right|+C_0$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{bnumerator\left(a\right)}{cdenominator\left(a\right)}$, onde $a=\frac{1}{2}$, $b=y^2$, $c=x^2$, $b/ca=\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)$ e $b/c=\frac{y^2}{x^2}$

$\frac{1y^2}{2x^2}=\ln\left(x\right)+C_0$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=y^2$

$\frac{y^2}{2x^2}=\ln\left|x\right|+C_0$
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Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{bnumerator\left(a\right)}{cdenominator\left(a\right)}$, onde $a=\frac{1}{2}$, $b=y^2$, $c=x^2$, $b/ca=\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)$ e $b/c=\frac{y^2}{x^2}$

$\frac{y^2}{2x^2}=\ln\left|x\right|+C_0$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y^2$, $b=2x^2$ e $c=\ln\left(x\right)+C_0$

$y^2=2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2$

Aplicamos a regra: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, onde $a=2$, $b=2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2$ e $x=y$

$\sqrt{y^2}=\pm \sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2}$

Aplicamos a regra: $\left(x^a\right)^b$$=x$, onde $a=2$, $b=\frac{1}{2}$, $x^a^b=\sqrt{y^2}$, $x=y$ e $x^a=y^2$

$y=\pm \sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2}$

Aplicamos a regra: $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, onde $a=y$ e $b=\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2}$

$y=\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2},\:y=-\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2}$

Combinando todas as soluções, as soluções $2$ da equação são

$y=\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2},\:y=-\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2}$
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Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$

$y=\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2},\:y=-\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2}$

Resposta final para o problema

$y=\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2},\:y=-\sqrt{2\left(\ln\left(x\right)+C_0\right)x^2}$

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