Conceitos

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Exercício

$\frac{dy}{dx}\:-\frac{y}{x}=\frac{x}{3y}$

Solução explicada passo a passo

1

Podemos reconhecer que a equação diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ é uma equação diferencial de Bernoulli, pois está escrita na forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ , onde $n$ é qualquer número real diferente de $0$ e $1$. Para resolver esta equação, podemos aplicar a seguinte substituição. Vamos definir uma nova variável $u$ e atribuir a ela o seguinte valor

$u=y^{\left(1-n\right)}$
2

Substituímos o valor de $n$, que equivale a $-1$

$u=y^{\left(1+1\right)}$
3

Simplificar

$u=y^{2}$
4

Isolamos a variável dependente $y$

$y=\sqrt{u}$
5

Diferencie ambos os lados da equação em relação à variável independente $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
6

Agora, substituímos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ e $y=\sqrt{u}$ na equação diferencial original

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
7

Simplificar

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
8

Precisamos cancelar o termo antes de $\frac{du}{dx}$. Podemos fazer isso multiplicando toda a equação diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
9

Multiplique ambos os lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$
10

Expanda e simplifique. Agora, vemos que a equação diferencial tem a forma de uma equação diferencial linear, pois removemos o termo $y^{-1}$ que estava multiplicando na equação original

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$
11

Aplicamos a regra: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, onde $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ e $f=\frac{x}{6}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
12

Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ e $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
13

Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)$
14

Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é

$\mu(x)=x^{-2}$
15

Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
16

Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}$
17

Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
18

Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial

$x^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
19

Aplicamos a regra: $\frac{x^a}{b}$$=\frac{1}{bx^{-a}}$, onde $a=-1$ e $b=3$

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx$
20

Aplicamos a regra: $x^1$$=x$

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx$
21

Resolva a integral $\int\frac{2}{3x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
22

Substitua $u$ pelo valor $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
23

Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
24

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
25

Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Resposta final para o problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Como devo resolver esse problema?

  • Escolha uma opção
  • Equação Diferencial Exata
  • Equação Diferencial Linear
  • Equação Diferencial Separável
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  • Integrar por frações parciais
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  • Método FOIL
  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar por partes
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Conceito Principal: Fatoração

Em matemática, a fatoração é uma técnica que consiste em descrever uma expressão matemática (que pode ser um número, uma soma, uma matriz, um polinômio, etc.) na forma de um produto.

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