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$\frac{d}{dx}\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$
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Solução explicada passo a passo

Como devo resolver esse problema?

  • Calcule a derivada usando diferenciação logarítmica
  • Derive usando a definição
  • Encontre a derivada com a regra do produto
  • Encontrando a derivada com a regra do quociente
  • Encontre a derivada
  • Integrar por frações parciais
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Método FOIL
  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar por partes
  • Carregue mais...
Não consegue encontrar um método? Diga-nos para que possamos adicioná-lo.
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=y=x$, onde $d/dx=\frac{d}{dx}$, $d/dx?x=\frac{d}{dx}\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$ e $x=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

$y=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
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Aplicamos a regra: $y=x$$\to \ln\left(y\right)=\ln\left(x\right)$, onde $x=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$

Aplicamos a regra: $y=x$$\to y=x$, onde $x=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$ e $y=\ln\left(y\right)$

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$

Aplicamos a regra: $\ln\left(ab\right)$$=\ln\left(a\right)+\ln\left(b\right)$, onde $a=\left(2x+1\right)^5$ e $b=\left(x^4-3\right)^6$

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$

Aplicamos a regra: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, onde $a=5$ e $x=2x+1$

$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$

Aplicamos a regra: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, onde $a=6$ e $x=x^4-3$

$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
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Aplicamos a regra: $y=x$$\to y=x$, onde $x=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$ e $y=\ln\left(y\right)$

$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
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Aplicamos a regra: $\ln\left(y\right)=x$$\to \frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $x=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
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A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $c=6$ e $x=\ln\left(x^4-3\right)$

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $x=x^4-3$

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
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A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=-3$

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
11

A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente

$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$10\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$10\left(\frac{1}{2x+1}\right)$
12

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=2$

$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
13

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10\cdot 1}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=10$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
14

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=4$

$24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{\left(4-1\right)}$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=4$, $b=-1$ e $a+b=4-1$

$24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
15

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=4$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\cdot 4\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
16

Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=6\cdot 4\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$, $a=6$ e $b=4$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24\cdot 1x^{3}}{x^4-3}$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10\cdot 1}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=10$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=24x^{3}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
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Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y^{\prime}$, $b=y$ e $c=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$

$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)y$
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Substitua o valor de $y$ pelo valor da função original: $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
20

A derivada da função é então

$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

O mínimo múltiplo comum (MMC) de uma soma de frações algébricas consiste no produto dos fatores comuns com o maior expoente e dos fatores não comuns

$M.M.C.=\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$

Uma vez obtido o mínimo múltiplo comum (MMC), colocamos-o como denominador de cada fração, e no numerador de cada fração somamos os fatores que precisamos para completar

$\frac{10\left(x^4-3\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}+\frac{24x^{3}\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$

Simplifique os numeradores

$\frac{10x^4-30}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}+\frac{48x^{3}x+24x^{3}}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$

Combine e simplifique todos os termos da mesma fração com $\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$ como denominador comum

$\frac{58x^{4}-30+24x^{3}}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$, $b=58x^{4}-30+24x^{3}$ e $c=\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$

$\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$

Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$, $a^n=\left(2x+1\right)^5$, $a=2x+1$ e $n=5$

$\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^6}{x^4-3}$

Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^6}{x^4-3}$, $a^n=\left(x^4-3\right)^6$, $a=x^4-3$ e $n=6$

$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$
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Simplifique a derivada

$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$

Resposta final para o problema

$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$

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atan
acot
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