Resposta final para o problema
$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
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1
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=y=x$, onde $d/dx=\frac{d}{dx}$, $d/dx?x=\frac{d}{dx}\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$ e $x=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
$y=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
2
Aplicamos a regra: $y=x$$\to \ln\left(y\right)=\ln\left(x\right)$, onde $x=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$
Passos
3
Aplicamos a regra: $y=x$$\to y=x$, onde $x=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$ e $y=\ln\left(y\right)$
$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
Explique melhor esta etapa
4
Aplicamos a regra: $\ln\left(y\right)=x$$\to \frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $x=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
5
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Passos
6
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=y$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Explique melhor esta etapa
7
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Passos
8
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Explique melhor esta etapa
Passos
9
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
Explique melhor esta etapa
10
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
11
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)$
12
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+\frac{d}{dx}\left(-3\right)\right)$
13
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=-3$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Passos
14
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=2$
$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Explique melhor esta etapa
Passos
15
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Explique melhor esta etapa
16
Aplicamos a regra: $a\frac{1}{x}$$=\frac{a}{x}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Passos
17
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=4$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
Explique melhor esta etapa
18
Aplicamos a regra: $a\frac{1}{x}$$=\frac{a}{x}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
19
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y^{\prime}$, $b=y$ e $c=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)y$
20
Substitua o valor de $y$ pelo valor da função original: $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
21
A derivada da função é então
$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
Resposta final para o problema$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$