Exercício$\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+3\right)^{5x-1}\right)$
Solução explicada passo a passo
1
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(a^b\right)$$=y=a^b$, onde $d/dx=\frac{d}{dx}$, $a=x^2+3$, $b=5x-1$, $a^b=\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$ e $d/dx?a^b=\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}\right)$
$y=\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$
2
Aplicamos a regra: $y=a^b$$\to \ln\left(y\right)=\ln\left(a^b\right)$, onde $a=x^2+3$ e $b=5x-1$
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}\right)$
3
Aplicamos a regra: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, onde $a=5x-1$ e $x=x^2+3$
$\ln\left(y\right)=\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)$
4
Aplicamos a regra: $\ln\left(y\right)=x$$\to \frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $x=\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)\right)$
5
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(ab\right)$$=\frac{d}{dx}\left(a\right)b+a\frac{d}{dx}\left(b\right)$, onde $d/dx=\frac{d}{dx}$, $ab=\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)$, $a=5x-1$, $b=\ln\left(x^2+3\right)$ e $d/dx?ab=\frac{d}{dx}\left(\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)\right)$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+3\right)\right)$
Passos
6
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)$
Explique melhor esta etapa
7
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)$
Passos
8
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)$
Explique melhor esta etapa
Passos
9
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$
Explique melhor esta etapa
Passos
10
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=5$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$
Explique melhor esta etapa
11
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$
Passos
12
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+2\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}x$
Explique melhor esta etapa
Passos
13
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}$
Explique melhor esta etapa
14
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y^{\prime}$, $b=y$ e $c=5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}$
$y^{\prime}=\left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)y$
15
Substitua o valor de $y$ pelo valor da função original: $\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$
$y^{\prime}=\left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$
16
A derivada da função é então
$\left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$
Passos
17
Simplifique a derivada
$\left(5x^2\ln\left(x^2+3\right)+15\ln\left(x^2+3\right)+10x^2-2x\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-2\right)}$
Explique melhor esta etapa
Resposta final para o problema $\left(5x^2\ln\left(x^2+3\right)+15\ln\left(x^2+3\right)+10x^2-2x\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-2\right)}$