Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de série de potência. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int\frac{\arctan\left(2x\right)}{x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=2x$
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=2$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=du$ e $b=2dx$
Aplicamos a regra: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=du$ e $x=dx$
Resolvendo $dx$ da equação anterior
Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, onde $a=\arctan\left(u\right)$, $b=x$, $c=2$, $a/b/c=\frac{\frac{\arctan\left(u\right)}{x}}{2}$ e $a/b=\frac{\arctan\left(u\right)}{x}$
Podemos fazer uso da substituição original $u=2x$, para remover $x$ na expressão
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\arctan\left(\theta \right)$$=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}\theta ^{\left(2n+1\right)}$, onde $x=u$
Aplicamos a regra: $\frac{\sum_{a}^{b} x}{y}$$=\sum_{a}^{b} \frac{x}{y}$, onde $a=n=0$, $b=\infty $, $x=\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}u^{\left(2n+1\right)}$ e $y=u$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=u^{\left(2n+1\right)}$, $b={\left(-1\right)}^n$ e $c=2n+1$
Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, onde $a={\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}$, $b=2n+1$, $c=u$, $a/b/c=\frac{\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}}{u}$ e $a/b=\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{{\left(-1\right)}^nu^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)u}$, $a^n=u^{\left(2n+1\right)}$, $a=u$ e $n=2n+1$
Simplificamos a expressão
Aplicamos a regra: $\int\sum_{a}^{b} \frac{x}{c}dx$$=\sum_{a}^{b} \frac{1}{c}\int xdx$, onde $a=n=0$, $b=\infty $, $c=2n+1$ e $x={\left(-1\right)}^nu^{2n}$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c={\left(-1\right)}^n$ e $x=u^{2n}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x={\left(-1\right)}^n$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Aplicamos a regra: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, onde $x=u$ e $n=2n$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a={\left(-1\right)}^n$, $b=2n+1$, $c=u^{\left(2n+1\right)}$, $a/b=\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}$, $f=2n+1$, $c/f=\frac{u^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$ e $a/bc/f=\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n+1}\frac{u^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$
Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$, onde $x=2n+1$
Simplificamos a expressão
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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