Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integrais de funções racionais seno e cosseno. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição
Portanto
Substituindo na integral original, obtemos
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ e $a/bc/f=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Aplicamos a regra: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, onde $a=3$, $b=-1+t^{2}$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$ e $b/c=\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=1+t^{2}$, $b=-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$ e $c=1+t^{2}$
Multiplique o termo $3$ por cada termo do polinômio $\left(1+t^{2}\right)$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=-1$, $b=3$ e $a+b=-1+t^{2}+3+3t^{2}$
Simplificando
Fatore o denominador por $2$
Cancele o fator comum $2$ da fração
Simplificando
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=2$, $b=t^{2}$ e $n=\frac{1}{2}$
Resolva a integral aplicando a substituição $u^2=2t^{2}$. Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, simplificando ficamos com
Diferencie ambos os lados da equação $u=\sqrt{2}t$
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $x=t$ e $n=\sqrt{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=t$
Agora, para reescrever $dt$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Resolvendo $dt$ da equação anterior
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=1$, $b=\sqrt{2}$ e $a/b=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $b=1$ e $a/b=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=u^2$
Depois de substituir tudo e simplificar, a integral resulta em
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, onde $b=1$, $x=u$ e $n=1$
Aplicamos a regra: $a^b$$=a^b$, onde $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ e $a^b=\sqrt{1}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a=1$ e $a/a=\frac{1}{1}$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$, $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $b=1$
Aplicamos a regra: $a^b$$=a^b$, onde $a=1$ e $b=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{x}{1}$$=x$, onde $x=u$
Simplificamos a expressão dentro da integral
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\sqrt{2}t$
Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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