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Calculadora de Integrais de Funções Racionais Seno e Cosseno

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Integrais de Funções Racionais Seno e Cosseno passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

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coth
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integrais de funções racionais seno e cosseno. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\int\frac{dx}{3-cos\left(x\right)}$
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Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
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Portanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{e}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Substituindo na integral original, obtemos

$\int\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ e $a/bc/f=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2}{\left(3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Aplicamos a regra: $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, onde $b=1-t^{2}$ e $c=1+t^{2}$

$\int\frac{2}{\left(3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Aplicamos a regra: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, onde $a=3$, $b=-1+t^{2}$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$ e $b/c=\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}dt$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=2$, $b=-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ e $b/c=\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a/a=\frac{2}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}$

$\int\frac{2}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}dt$
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Simplificando

$\int\frac{2}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}dt$
6

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{a+b}dx$$=n\int\frac{1}{a+b}dx$, onde $a=-1$, $b=t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$ e $n=2$

$2\int\frac{1}{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}dt$

Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=1$, $b=t^{2}$, $x=3$ e $a+b=1+t^{2}$

$2\int\frac{1}{t^{2}+3\cdot 1+3t^{2}-1}dt$

Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=1$, $b=-t^{2}$, $x=-1$ e $a+b=1-t^{2}$

$\int\frac{2}{\left(3+\frac{expand\left(-1-\left(-1\right)t^{2}\right)}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=-\left(-1\right)t^{2}$, $a=-1$ e $b=-1$

$\int\frac{2}{\left(3+\frac{expand\left(-1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=3$

$2\int\frac{1}{t^{2}+3+3t^{2}-1}dt$
7

Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=1$, $b=t^{2}$, $x=3$ e $a+b=1+t^{2}$

$2\int\frac{1}{t^{2}+3+3t^{2}-1}dt$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=3$, $b=-1$ e $a+b=t^{2}+3+3t^{2}-1$

$2\int\frac{1}{t^{2}+2+3t^{2}}dt$

Reduzindo termos semelhantes $t^{2}$ e $3t^{2}$

$2\int\frac{1}{4t^{2}+2}dt$
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Simplificamos a expressão

$2\int\frac{1}{4t^{2}+2}dt$

$\sqrt{2t^{2}}$

Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=2$, $b=t^{2}$ e $n=\frac{1}{2}$

$\sqrt{2}t$
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Resolva a integral aplicando a substituição $u^2=2t^{2}$. Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, simplificando ficamos com

$u=\sqrt{2}t$

Diferencie ambos os lados da equação $u=\sqrt{2}t$

$du=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)$

Encontre a derivada

$\frac{d}{dt}\left(\sqrt{2}t\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$\sqrt{2}\frac{d}{dt}\left(t\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=t$

$\sqrt{2}$
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Agora, para reescrever $dt$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=\sqrt{2}dt$
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Resolvendo $dt$ da equação anterior

$\frac{du}{\sqrt{2}}=dt$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=u^2$

$2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+1}du$

Aplicamos a regra: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, onde $a=2$, $b=2$, $ax/b=2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+1}du$, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $x/b=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{u^2+1}du$
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Depois de substituir tudo e simplificar, a integral resulta em

$\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{u^2+1}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, onde $b=1$, $x=u$ e $n=1$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{1}}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Aplicamos a regra: $a^b$$=a^b$, onde $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ e $a^b=\sqrt{1}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{1}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{x}{1}$$=x$, onde $x=1$

$\frac{1}{\sqrt{2}}1\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1}}\right)$

Aplicamos a regra: $a^b$$=a^b$, onde $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ e $a^b=\sqrt{1}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{u}{1}\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{x}{1}$$=x$, onde $x=u$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(u\right)$
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Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, onde $b=1$, $x=u$ e $n=1$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(u\right)$
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Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\sqrt{2}t$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}t\right)$
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Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)$
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Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

Resposta final para o problema

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+C_0$

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