👉 Baixe o NerdPal agora! Nosso novo aplicativo de matemática no iOS e Android
  1. calculadoras
  2. Equações Diferenciais Separáveis

Calculadora de Equações Diferenciais Separáveis

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Equações Diferenciais Separáveis passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

Modo simbolico
Modo texto
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

1

Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equações diferenciais separáveis. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\left(2xy-y\right)dx+\left(x^2+x\right)dy=0$
2

Aplicamos a regra: $ax+bx$$=x\left(a+b\right)$, onde $a=2x$, $b=-1$ e $x=y$

$y\left(2x-1\right)dx+\left(x^2+x\right)dy=0$
3

Aplicamos a regra: $a\cdot dx+b\cdot dy=c$$\to b\cdot dy=c-a\cdot dx$, onde $a=\left(2x-1\right)y$, $b=x^2+x$ e $c=0$

$\left(x^2+x\right)dy=-\left(2x-1\right)y\cdot dx$
4

Agrupe os termos da equação diferencial. Mova os termos da variável $y$ para o lado esquerdo e os termos da variável $x$ para o lado direito da igualdade

$\frac{1}{y}dy=\frac{-\left(2x-1\right)}{x^2+x}dx$

Fatore o polinômio $x^2+x$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $x$

$\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$
5

Simplifique a expressão $\frac{-\left(2x-1\right)}{x^2+x}dx$

$\frac{1}{y}dy=\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$
6

Aplicamos a regra: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, onde $a=\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}$, $b=\frac{1}{y}$, $dyb=dxa=\frac{1}{y}dy=\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$, $dyb=\frac{1}{y}dy$ e $dxa=\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$

$\int\frac{1}{y}dy=\int\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=y$ e $n=1$

$\ln\left|y\right|$
7

Resolva a integral $\int\frac{1}{y}dy$ e substitua o resultado na equação diferencial

$\ln\left|y\right|=\int\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$

Aplicamos a regra: $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, onde $a=-1$, $b=2x-1$ e $c=x\left(x+1\right)$

$-\int\frac{2x-1}{x\left(x+1\right)}dx$

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{2x-1}{x\left(x+1\right)}$ em $2$ frações mais simples

$\frac{-1}{x}+\frac{3}{x+1}$

Expanda a integral $\int\left(\frac{-1}{x}+\frac{3}{x+1}\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

$-\int\frac{-1}{x}dx-\int\frac{3}{x+1}dx$

Podemos resolver a integral $\int\frac{3}{x+1}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x+1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=x+1$

Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=dx$

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$-\int\frac{-1}{x}dx-\int\frac{3}{u}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=-1$

$- -\ln\left|x\right|-\int\frac{3}{u}du$

Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- -\ln\left(x\right)$, $a=-1$ e $b=-1$

$\ln\left|x\right|-\int\frac{3}{u}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=3$

$\ln\left|x\right|- 3\ln\left|u\right|$

Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- 3\ln\left(u\right)$, $a=-1$ e $b=3$

$\ln\left|x\right|-3\ln\left|u\right|$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $x+1$

$\ln\left|x\right|-3\ln\left|x+1\right|$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\ln\left|x\right|-3\ln\left|x+1\right|+C_0$
8

Resolva a integral $\int\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial

$\ln\left|y\right|=\ln\left|x\right|-3\ln\left|x+1\right|+C_0$

Aplicamos a regra: $\ln\left(a\right)=b$$\to e^{\ln\left(a\right)}=e^b$, onde $a=y$ e $b=\ln\left(x\right)-3\ln\left(x+1\right)+C_0$

$e^{\ln\left(y\right)}=e^{\left(\ln\left(x\right)-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$

Aplicamos a regra: $e^{\ln\left(x\right)}$$=x$, onde $x=y$

$y=e^{\left(\ln\left(x\right)-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$

Aplicamos a regra: $e^{\left(\ln\left(b\right)+c\right)}$$=be^c$, onde $b=x$, $2.718281828459045=e$ e $c=-3\ln\left(x+1\right)+C_0$

$y=xe^{\left(-3\ln\left(x+1\right)+C_0\right)}$

Aplicamos a regra: $e^{\left(a\ln\left(b\right)+c\right)}$$=b^ae^c$, onde $a=-3$, $b=x+1$, $2.718281828459045=e$ e $c=C_0$

$y=e^{C_0}x\left(x+1\right)^{-3}$

Aplicamos a regra: $e^c$$=cteint$, onde $2.718281828459045^c=e^{C_0}$, $2.718281828459045=e$ e $c=C_0$

$y=C_1x\left(x+1\right)^{-3}$

Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$y=C_1x\frac{1}{\left(x+1\right)^{3}}$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$y=\frac{C_1x}{\left(x+1\right)^{3}}$
9

Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$

$y=\frac{C_1x}{\left(x+1\right)^{3}}$

Resposta final para o problema

$y=\frac{C_1x}{\left(x+1\right)^{3}}$

Você tem dificuldades com matemática?

Tenha acesso a milhares de soluções de exercícios passo a passo e elas crescem a cada dia!