Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equações diferenciais separáveis. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Aplicamos a regra: $ax+bx$$=x\left(a+b\right)$, onde $a=2x$, $b=-1$ e $x=y$
Aplicamos a regra: $a\cdot dx+b\cdot dy=c$$\to b\cdot dy=c-a\cdot dx$, onde $a=\left(2x-1\right)y$, $b=x^2+x$ e $c=0$
Agrupe os termos da equação diferencial. Mova os termos da variável $y$ para o lado esquerdo e os termos da variável $x$ para o lado direito da igualdade
Fatore o polinômio $x^2+x$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $x$
Simplifique a expressão $\frac{-\left(2x-1\right)}{x^2+x}dx$
Aplicamos a regra: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, onde $a=\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}$, $b=\frac{1}{y}$, $dyb=dxa=\frac{1}{y}dy=\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$, $dyb=\frac{1}{y}dy$ e $dxa=\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=y$ e $n=1$
Resolva a integral $\int\frac{1}{y}dy$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, onde $a=-1$, $b=2x-1$ e $c=x\left(x+1\right)$
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{2x-1}{x\left(x+1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Expanda a integral $\int\left(\frac{-1}{x}+\frac{3}{x+1}\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Podemos resolver a integral $\int\frac{3}{x+1}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x+1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=-1$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- -\ln\left(x\right)$, $a=-1$ e $b=-1$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=3$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- 3\ln\left(u\right)$, $a=-1$ e $b=3$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $x+1$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int\frac{-\left(2x-1\right)}{x\left(x+1\right)}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $\ln\left(a\right)=b$$\to e^{\ln\left(a\right)}=e^b$, onde $a=y$ e $b=\ln\left(x\right)-3\ln\left(x+1\right)+C_0$
Aplicamos a regra: $e^{\ln\left(x\right)}$$=x$, onde $x=y$
Aplicamos a regra: $e^{\left(\ln\left(b\right)+c\right)}$$=be^c$, onde $b=x$, $2.718281828459045=e$ e $c=-3\ln\left(x+1\right)+C_0$
Aplicamos a regra: $e^{\left(a\ln\left(b\right)+c\right)}$$=b^ae^c$, onde $a=-3$, $b=x+1$, $2.718281828459045=e$ e $c=C_0$
Aplicamos a regra: $e^c$$=cteint$, onde $2.718281828459045^c=e^{C_0}$, $2.718281828459045=e$ e $c=C_0$
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
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