Calculadora de Equação Diferencial Separável

Reescreva a expressão $\frac{1}{y^2-4}$ que está dentro da integral na forma fatorada

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{\left(y+2\right)\left(y-2\right)}$ em $2$ frações mais simples

Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $\left(y+2\right)\left(y-2\right)$

Multiplicando polinômios

Simplificando

Atribuindo valores a $y$ obtemos o seguinte sistema de equações

Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares

Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz

Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan

A integral de $\frac{1}{\left(y+2\right)\left(y-2\right)}$ na forma decomposta é equivalente a

Expanda a integral $\int\left(\frac{-1}{4\left(y+2\right)}+\frac{1}{4\left(y-2\right)}\right)dy$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=-1$, $b=y+2$ e $c=4$

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=y-2$ e $c=4$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=2$, $x=y$ e $n=-1$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=-2$, $x=y$ e $n=1$

Aplicamos a regra: $\int cdx$$=cvar+C$, onde $c=1$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$