Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial homogênea. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos identificar que a equação diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}$ é homogênea, pois está escrita em sua forma padrão $\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, onde $M(x,y)$ e $N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis $f(x,y)$ e ambas são funções homogêneas de mesmo grau
Fazemos a substituição: $y=ux$
Fatore o polinômio $2x+ux$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $x$
Expanda a fração $\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}$ em $2$ frações mais simples com $dx$ como denominador comum
Simplifique as frações resultantes
Multiplique o termo $-1$ por cada termo do polinômio $\left(4x+3ux\right)$
Fatore o polinômio $-4x-3ux$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $-x$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a=x$ e $a/a=\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}$
Multiplique o termo $-1$ por cada termo do polinômio $\left(4+3u\right)$
Aplicamos a regra: $x+a=b$$\to x=b-a$, onde $a=u$, $b=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x+a=b=u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x=\frac{x\cdot du}{dx}$ e $x+a=u+\frac{x\cdot du}{dx}$
Combine todos os termos em uma única fração com $2+u$ como denominador comum
Reduzindo termos semelhantes $-3u$ e $-2u$
Agrupe os termos da equação diferencial. Mova os termos da variável $u$ para o lado esquerdo e os termos da variável $x$ para o lado direito da igualdade
Simplifique a expressão $\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du$
Expanda e simplifique
Aplicamos a regra: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, onde $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$, $dy=du$, $dyb=dxa=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx$, $dyb=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ e $dxa=\frac{1}{x}dx$
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=2+u$, $b=\left(u+1\right)\left(u+4\right)$ e $c=-1$
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$ em $2$ frações mais simples
Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}\right)du$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=u+1$ e $c=3$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ e $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{1}{u+1}du$
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=2$, $b=u+4$ e $c=3$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ e $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int\frac{2}{u+4}du$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=1$, $x=u$ e $n=1$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=-\frac{1}{3}\ln\left(u+1\right)$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=4$, $x=u$ e $n=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=-1$, $b=3$, $c=2$, $a/b=-\frac{1}{3}$ e $ca/b=2\left(-\frac{1}{3}\right)\ln\left(u+4\right)$
Resolva a integral $\int\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int\frac{1}{x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Substitua $u$ pelo valor $\frac{y}{x}$
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