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Calculadora de Equação Diferencial Homogênea

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Equação Diferencial Homogênea passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

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atanh
acoth
asech
acsch

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Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial homogênea. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\left(y^2+2xy\right)dx-x^2dy=0$
2

Podemos identificar que a equação diferencial $\left(y^2+2xy\right)dx-x^2dy=0$ é homogênea, pois está escrita em sua forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, onde $M(x,y)$ e $N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis $f(x,y)$ e ambas são funções homogêneas de mesmo grau

$\left(y^2+2xy\right)dx-x^2dy=0$
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Fazemos a substituição: $y=ux$

$\left(\left(ux\right)^2+2xux\right)dx-x^2\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)=0$

Multiplique o termo $-x^2$ por cada termo do polinômio $\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)$

$\left(\left(ux\right)^2+2x^2u\right)dx-ux^2\cdot dx-x^{3}du=0$

Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$

$\left(u^2x^2+2x^2u\right)dx-ux^2\cdot dx-x^{3}du=0$

Multiplique o termo $dx$ por cada termo do polinômio $\left(u^2x^2+2x^2u\right)$

$u^2x^2dx+2x^2u\cdot dx-ux^2\cdot dx-x^{3}du=0$

Reduzindo termos semelhantes $2x^2u\cdot dx$ e $-ux^2\cdot dx$

$u^2x^2dx+u\cdot x^2\cdot dx-x^{3}du=0$

Agrupe os termos da equação

$-x^{3}du=-u^2x^2dx-u\cdot x^2\cdot dx$

Aplicamos a regra: $-x=a$$\to x=-a$, onde $a=-u^2x^2dx-u\cdot x^2\cdot dx$ e $x=x^{3}du$

$x^{3}du=u^2x^2dx+u\cdot x^2\cdot dx$

Fatore o polinômio $u^2x^2dx+u\cdot x^2\cdot dx$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $u\cdot x^2\cdot dx$

$x^{3}du=u\cdot x^2\left(u+1\right)\cdot dx$

Agrupe os termos da equação diferencial. Mova os termos da variável $u$ para o lado esquerdo e os termos da variável $x$ para o lado direito da igualdade

$\frac{1}{u}\frac{1}{u+1}du=\frac{x^2}{x^{3}}dx$

Simplifique a expressão $\frac{1}{u}\frac{1}{u+1}du$

$\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\frac{x^2}{x^{3}}dx$

Simplifique a expressão $\frac{x^2}{x^{3}}dx$

$\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\frac{1}{x}dx$
4

Expanda e simplifique

$\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\frac{1}{x}dx$
5

Aplicamos a regra: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, onde $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{1}{u\left(u+1\right)}$, $dy=du$, $dyb=dxa=\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\frac{1}{x}dx$, $dyb=\frac{1}{u\left(u+1\right)}du$ e $dxa=\frac{1}{x}dx$

$\int\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\int\frac{1}{x}dx$

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{u\left(u+1\right)}$ em $2$ frações mais simples

$\frac{1}{u}+\frac{-1}{u+1}$

Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{u}+\frac{-1}{u+1}\right)du$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

$\int\frac{1}{u}du+\int\frac{-1}{u+1}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=1$

$\ln\left|u\right|+\int\frac{-1}{u+1}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=1$, $x=u$ e $n=-1$

$\ln\left|u\right|-\ln\left|u+1\right|$
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Resolva a integral $\int\frac{1}{u\left(u+1\right)}du$ e substitua o resultado na equação diferencial

$\ln\left|u\right|-\ln\left|u+1\right|=\int\frac{1}{x}dx$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$

$\ln\left|x\right|$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\ln\left|x\right|+C_0$
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Resolva a integral $\int\frac{1}{x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial

$\ln\left|u\right|-\ln\left|u+1\right|=\ln\left|x\right|+C_0$
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Substitua $u$ pelo valor $\frac{y}{x}$

$\ln\left(\frac{y}{x}\right)-\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)=\ln\left(x\right)+C_0$

Resposta final para o problema

$\ln\left(\frac{y}{x}\right)-\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)=\ln\left(x\right)+C_0$

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