Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial homogênea. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos identificar que a equação diferencial $\left(y^2+2xy\right)dx-x^2dy=0$ é homogênea, pois está escrita em sua forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, onde $M(x,y)$ e $N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis $f(x,y)$ e ambas são funções homogêneas de mesmo grau
Fazemos a substituição: $y=ux$
Multiplique o termo $-x^2$ por cada termo do polinômio $\left(u\cdot dx+x\cdot du\right)$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$
Multiplique o termo $dx$ por cada termo do polinômio $\left(u^2x^2+2x^2u\right)$
Reduzindo termos semelhantes $2x^2u\cdot dx$ e $-ux^2\cdot dx$
Agrupe os termos da equação
Aplicamos a regra: $-x=a$$\to x=-a$, onde $a=-u^2x^2dx-u\cdot x^2\cdot dx$ e $x=x^{3}du$
Fatore o polinômio $u^2x^2dx+u\cdot x^2\cdot dx$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $u\cdot x^2\cdot dx$
Agrupe os termos da equação diferencial. Mova os termos da variável $u$ para o lado esquerdo e os termos da variável $x$ para o lado direito da igualdade
Simplifique a expressão $\frac{1}{u}\frac{1}{u+1}du$
Simplifique a expressão $\frac{x^2}{x^{3}}dx$
Expanda e simplifique
Aplicamos a regra: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, onde $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{1}{u\left(u+1\right)}$, $dy=du$, $dyb=dxa=\frac{1}{u\left(u+1\right)}du=\frac{1}{x}dx$, $dyb=\frac{1}{u\left(u+1\right)}du$ e $dxa=\frac{1}{x}dx$
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{u\left(u+1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{u}+\frac{-1}{u+1}\right)du$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=1$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=1$, $x=u$ e $n=-1$
Resolva a integral $\int\frac{1}{u\left(u+1\right)}du$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=1$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int\frac{1}{x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Substitua $u$ pelo valor $\frac{y}{x}$
Tenha acesso a milhares de soluções de exercícios passo a passo e elas crescem a cada dia!
Problemas mais populares resolvidos com esta calculadora: