Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial exata. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
A equação diferencial $\left(4x+xy^2\right)dx+\left(y+x^2y\right)dy=0$ é exata, pois está escrita em sua forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, onde $M(x,y)$ e $ N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis $f(x,y)$ e ambas satisfazem o teste de correção: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y }=\frac{\partial N}{\partial x}$. Em outras palavras, suas segundas derivadas parciais são iguais. A solução geral da equação diferencial tem a forma: $f(x,y)=C$
Diferencie $M(x,y)$ em relação a $y$
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$ e $x=y$
Diferencie $N(x,y)$ em relação a $x$
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$
Usando o teste de precisão, verificamos que a equação diferencial é exata
Expanda a integral $\int\left(4x+xy^2\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=4$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=y^2$
Aplicamos a regra: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=4$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)x^2$
Aplicamos a regra: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$
Como $y$ é tratado como uma constante, devemos adicionar uma função de $y$ como constante de integração
Integramos $M(x,y)$ em relação a $x$ para obter
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$ e $x=y$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\frac{1}{2}x^2y$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=2$, $b=2$ e $a/b=\frac{2}{2}$
A derivada de $g(y)$ é $g'(y)$
Calcule a derivada parcial de $2x^2+\frac{1}{2}y^2x^2$ em relação a $y$ para obter
Simplifique e resolva por $g'(y)$
Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=y+x^2y$ e $b=x^2y+g$
Aplicamos a regra: $x+a=b$$\to x=b-a$, onde $a=x^2y$, $b=y+x^2y$, $x+a=b=x^2y+g=y+x^2y$, $x=g$ e $x+a=x^2y+g$
Reduzindo termos semelhantes $x^2y$ e $-x^2y$
Igualamos $y+x^2y$ e $x^2y+g'(y)$ e então resolvemos para $g'(y)$
Integre ambos os lados em relação a $y$
Aplicamos a regra: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$, onde $x=y$
Encontre $g(y)$ integrando ambos os lados
Encontramos nosso $f(x,y)$ e é equivalente a
Portanto, a solução da equação diferencial é
Agrupe os termos da equação
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=y^2x^2$, $b=1$ e $c=2$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=y^2$, $b=1$ e $c=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$$=\frac{a+c}{b}$, onde $a=y^2x^2$, $b=2$ e $c=y^2$
Fatore o polinômio $y^2x^2+y^2$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $y^2$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y^2\left(x^2+1\right)$, $b=2$ e $c=C_0-2x^2$
Aplicamos a regra: $a\left(bc+f\right)$$=abc+cteint$, onde $a=2$, $bc=-2x^2$, $bc+f=C_0-2x^2$, $b=-2$, $c=x^2$ e $f=C_0$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=2\cdot -2x^2$, $a=2$ e $b=-2$
Aplicamos a regra: $ax=b$$\to \frac{ax}{a}=\frac{b}{a}$, onde $a=x^2+1$, $b=-4x^2+C_1$ e $x=y^2$
Aplicamos a regra: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, onde $a=2$, $b=\frac{-4x^2+C_1}{x^2+1}$ e $x=y$
Aplicamos a regra: $\left(x^a\right)^b$$=x$, onde $a=2$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt{y^2}$, $x=y$ e $x^a=y^2$
Aplicamos a regra: $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, onde $a=y$ e $b=\sqrt{\frac{-4x^2+C_1}{x^2+1}}$
Aplicamos a regra: $\left(\frac{a}{b}\right)^n$$=\frac{a^n}{b^n}$, onde $a=-4x^2+C_1$, $b=x^2+1$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $\left(\frac{a}{b}\right)^n$$=\frac{a^n}{b^n}$, onde $a=-4x^2+C_1$, $b=x^2+1$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, onde $b=\sqrt{-4x^2+C_1}$ e $c=\sqrt{x^2+1}$
Combinando todas as soluções, as soluções $2$ da equação são
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
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