Reescreva a equação diferencial usando a notação de Leibniz

Aplicamos a regra: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to a\frac{dy}{dx}=f-c$, onde $a=\sin\left(x\right)+x^2e^y-1$, $c=y\cos\left(x\right)+2xe^y$ e $f=0$

Aplicamos a regra: $a\frac{dy}{dx}=f$$\to \frac{dy}{dx}factor\left(a\right)=factor\left(f\right)$, onde $a=\sin\left(x\right)+x^2e^y-1$ e $f=-\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)$

Aplicamos a regra: $a\frac{dy}{dx}=c$$\to \frac{dy}{dx}=\frac{c}{a}$, onde $a=x^2e^y+\sin\left(x\right)-1$ e $c=-\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)$

Reescreva a equação diferencial na forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

A equação diferencial $x^2e^y+\sin\left(x\right)-1dy1\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)dx=0$ é exata, pois está escrita em sua forma padrão $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, onde $M(x,y)$ e $ N(x,y)$ constituem as derivadas parciais da função de duas variáveis ​​$f(x,y)$ e ambas satisfazem o teste de correção: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y }=\frac{\partial N}{\partial x}$. Em outras palavras, suas segundas derivadas parciais são iguais. A solução geral da equação diferencial tem a forma: $f(x,y)=C$

Encontramos nosso $f(x,y)$ e é equivalente a

Portanto, a solução da equação diferencial é