Podemos resolver a integral $\int2\sqrt{-\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+4}dx$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável

Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=2$, $b=\sin\left(\theta \right)$ e $n=2$

Aplicamos a regra: $x+ax$$=x\left(1+a\right)$, onde $a=-\sin\left(\theta \right)^2$ e $x=4$

Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=4$, $b=1-\sin\left(\theta \right)^2$ e $n=\frac{1}{2}$

Aplicando a identidade trigonométrica: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=4$ e $x=2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)$

Simplifique $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$

Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$, onde $x=\cos\left(\theta \right)$

Aplicamos a regra: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, onde $x=\theta $

Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$

Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sin\left(2\theta \right)$$=2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, onde $x=\theta $

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=4$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{4}$ e $ca/b=2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$