Podemos resolver a integral $\int\sec\left(2x\right)^5dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=\sec\left(u\right)^5$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^5dx$$=\frac{1}{4}\sec\left(\theta \right)^3\tan\left(\theta \right)+\frac{3}{8}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=u$

Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\frac{1}{4}\sec\left(u\right)^3\tan\left(u\right)$, $b=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$, $x=\frac{1}{2}$ e $a+b=\frac{1}{4}\sec\left(u\right)^3\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$

Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)$, $b=\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$, $x=\frac{1}{2}$ e $a+b=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$