Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Escolha uma opção
- Integrar por frações parciais
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
- Integrar pelo método tabular
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Carregue mais...
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, onde $n=3$
Podemos resolver a integral $\int\sec\left(x\right)^2\sec\left(x\right)dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\sec\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
Calcule a integral para encontrar $v$
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^2dx$$=\tan\left(\theta \right)+C$
Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$, onde $x=\tan\left(x\right)$
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
Aplicando a identidade trigonométrica: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Podemos identificar que a integral tem a forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se a potência $n$ for ímpar e $m$ for par, então devemos expressar todas as funções em termos de secantes, expandir e integrar separadamente
Multiplique o termo $\sec\left(x\right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(x\right)^2-1\right)$
Aplicamos a regra: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, onde $x^nx=\sec\left(x\right)^2\sec\left(x\right)$, $x=\sec\left(x\right)$, $x^n=\sec\left(x\right)^2$ e $n=2$
Multiplique o termo $\sec\left(x\right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(x\right)^2-1\right)$
Expanda a integral $\int\left(\sec\left(x\right)^{3}-\sec\left(x\right)\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\int\sec\left(x\right)dx$
Simplificamos a expressão
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$
A integral $\int\sec\left(x\right)dx$ resulta em: $\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)$
Quando a integral que estamos calculando aparece novamente na integração por partes (formou-se um ciclo), ela é resolvida como uma equação. Então o que fazemos é passar a integral repetida para o lado esquerdo da equação, com sinal oposto
Passe a integral cíclica para o lado esquerdo da equação
Adicionando as integrais
Movemos a parte constante $2$ dividindo o outro lado da equação
A integral nos dá o resultado
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Multiplique o termo $\frac{1}{2}$ por cada termo do polinômio $\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)\right)$
Expanda e simplifique
