Exercício$\int\sec^3\left(x\right)dx$
Solução explicada passo a passo
1
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, onde $n=3$
$\int\sec\left(x\right)^2\sec\left(x\right)dx$
2
Podemos resolver a integral $\int\sec\left(x\right)^2\sec\left(x\right)dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Passos
3
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)dx}\end{matrix}$
Explique melhor esta etapa
4
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(x\right)^2dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(x\right)^2dx}\end{matrix}$
5
Calcule a integral para encontrar $v$
$v=\int\sec\left(x\right)^2dx$
6
Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^2dx$$=\tan\left(\theta \right)+C$
$\tan\left(x\right)$
Passos
7
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
$\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$
Explique melhor esta etapa
Passos
8
Podemos identificar que a integral tem a forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se a potência $n$ for ímpar e $m$ for par, então devemos expressar todas as funções em termos de secantes, expandir e integrar separadamente
$\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\sec\left(x\right)\left(\sec\left(x\right)^2-1\right)dx$
Explique melhor esta etapa
Passos
9
Multiplique o termo $\sec\left(x\right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(x\right)^2-1\right)$
$\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\left(\sec\left(x\right)^{3}-\sec\left(x\right)\right)dx$
Explique melhor esta etapa
Passos
10
Simplificamos a expressão
$\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\sec\left(x\right)^{3}dx+\int\sec\left(x\right)dx$
Explique melhor esta etapa
Passos
11
A integral $\int\sec\left(x\right)dx$ resulta em: $\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)$
$\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)$
Explique melhor esta etapa
12
Quando a integral que estamos calculando aparece novamente na integração por partes (formou-se um ciclo), ela é resolvida como uma equação. Então o que fazemos é passar a integral repetida para o lado esquerdo da equação, com sinal oposto
$\int\sec\left(x\right)^{3}dx=\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\sec\left(x\right)^{3}dx+\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)$
13
Passe a integral cíclica para o lado esquerdo da equação
$\int\sec\left(x\right)^{3}dx+\int\sec\left(x\right)^{3}dx=\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|$
14
Adicionando as integrais
$2\int\sec\left(x\right)^{3}dx=\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|$
15
Movemos a parte constante $2$ dividindo o outro lado da equação
$\int\sec\left(x\right)^{3}dx=\frac{1}{2}\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right)$
16
A integral nos dá o resultado
$\frac{1}{2}\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right)$
17
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
$\frac{1}{2}\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right)$
18
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
$\frac{1}{2}\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right)+C_0$
Passos
$\frac{1}{2}\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|+C_0$
Explique melhor esta etapa
Resposta final para o problema $\frac{1}{2}\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|+C_0$
