Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por frações parciais
- Integrar por partes
- Integrar pelo método tabular
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Método FOIL
- Carregue mais...
Podemos resolver a integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Resolvendo $dx$ da equação anterior
Reescreva $x$ em termos de $u$
Substituímos $u$, $dx$ e $x$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=4$ e $x=ue^u$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=1$, $b=4$ e $a/b=\frac{1}{4}$
Podemos resolver a integral $\int ue^udu$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
Calcule a integral
Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$, onde $x=u$
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
Multiplique o termo $\frac{1}{4}$ por cada termo do polinômio $\left(e^u\cdot u-\int e^udu\right)$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$
A integral $-\frac{1}{4}\int e^udu$ resulta em: $-\frac{1}{4}e^{2x}$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$