Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Integrar por partes
- Integrar por frações parciais
- Integrar por mudança de variável
- Integrar pelo método tabular
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Método FOIL
- Carregue mais...
Podemos resolver a integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $\sqrt{x^2+6}$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Resolvendo $dx$ da equação anterior
Reescreva $x$ em termos de $u$
Substituímos $u$, $dx$ e $x$ na integral e depois simplificamos
Podemos resolver a integral $\int\sqrt{u^{2}-6}du$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável
Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituindo na integral original, obtemos
Fatore o polinômio $6\sec\left(\theta \right)^{2}-6$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $6$
Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=6$, $b=\sec\left(\theta \right)^2-1$ e $n=\frac{1}{2}$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}$ e $x=\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$
Simplifique $\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$, onde $x=\tan\left(\theta \right)$
Podemos identificar que a integral tem a forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se a potência $n$ for ímpar e $m$ for par, então devemos expressar todas as funções em termos de secantes, expandir e integrar separadamente
Multiplique o termo $\sec\left(\theta \right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expanda a integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
A integral $\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ resulta em: $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
A integral $\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$ resulta em: $-\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}\ln\left(\frac{u}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{u^{2}-6}}{\sqrt{6}}\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
O mínimo múltiplo comum (MMC) de uma soma de frações algébricas consiste no produto dos fatores comuns com o maior expoente e dos fatores não comuns
Combine e simplifique todos os termos da mesma fração com $\sqrt{6}$ como denominador comum
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Aplicamos a regra: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, onde $a=\sqrt{6}$, $b=3$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+6}+x$
Simplificando