Podemos resolver a integral $\int\frac{\sec\left(\frac{1}{x^7}\right)^2}{x^8}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $\frac{1}{x^7}$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

Resolvendo $dx$ da equação anterior

Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=-7$ e $x=\sec\left(u\right)^2$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^2dx$$=\tan\left(\theta \right)+C$, onde $x=u$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$