Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{4\sec\left(x\right)-1}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição

Portanto

Substituindo na integral original, obtemos

Aplicamos a regra: $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, onde $a=2$, $b=1-t^{2}$ e $c=\left(4\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)$

Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=1$, $b=t^{2}$, $x=4$ e $a+b=1+t^{2}$

Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=1$, $b=-t^{2}$, $x=-1$ e $a+b=1-t^{2}$

Expanda a integral $\int\left(\frac{4}{3+5t^{2}}+\frac{-1}{1+t^{2}}\right)dt$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$