Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=1$, $b=x^2$, $x=5$ e $a+b=1+x^2$

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{24}{25}$ e $c=5$

Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{24}{25}}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x-\frac{1}{5}$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

Aplicamos a regra: $\int\frac{1}{a+b^2}dx$$=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+\frac{b^2}{a}}dx$, onde $a=\frac{24}{25}$ e $b=u$

Resolvendo $du$ da equação anterior

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, onde $b=1$, $x=v$ e $n=1$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\arctan\left(v\right)$, $b=\sqrt{24}$ e $c=24$

Aplicamos a regra: $x\left(\frac{a}{x}+b\right)$$=a+bx$, onde $a=-1$, $b=x$ e $x=5$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$