Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Escolha uma opção
- Integrar por frações parciais
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
- Integrar pelo método tabular
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Carregue mais...
Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição
Portanto
Substituindo na integral original, obtemos
Aplicamos a regra: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, onde $a=-1$, $b=2t$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=\frac{2t}{1+t^{2}}-1$ e $b/c=\frac{2t}{1+t^{2}}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=\frac{2t-\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{\frac{2t-\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ e $a/bc/f=\frac{1}{\frac{2t-\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=2$, $b=2t-\left(1+t^{2}\right)$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{2t-\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ e $b/c=\frac{2t-\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a=1+t^{2}$ e $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t-\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$
Simplificando
Aplicamos a regra: $-\left(a+b\right)$$=-a-b$, onde $a=1$, $b=t^{2}$, $-1.0=-1$ e $a+b=1+t^{2}$
O trinômio $2t+1+1t^{2}$ é um trinômio quadrado perfeito, pois seu discriminante é igual a zero
Usamos a relação do trinômio quadrado perfeito
Fatoramos o trinômio quadrado perfeito
Reescreva a expressão $\frac{2}{2t-\left(1+t^{2}\right)}$ que está dentro da integral na forma fatorada
Aplicamos a regra: $\frac{a}{bx}$$=\frac{\frac{a}{b}}{x}$, onde $a=2$, $b=-1$, $bx=-\left(t-1\right)^{2}$, $a/bx=\frac{2}{-\left(t-1\right)^{2}}$ e $x=\left(t-1\right)^{2}$
Podemos resolver a integral $\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $t-1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=t-1$
Encontre a derivada
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Agora, para reescrever $dt$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituímos $u$ e $dt$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\frac{a}{x^b}$$=ax^{-b}$, onde $a=-2$, $b=2$ e $x=u$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-2$ e $x=u^{-2}$
Aplicamos a regra: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, onde $x=u$ e $n=-2$
Aplicamos a regra: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, onde $a=-2$, $b=-1$, $ax/b=-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$, $x=u^{-1}$ e $x/b=\frac{u^{-1}}{-1}$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $t-1$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $t-1$
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$, onde $a=-1$ e $x=t-1$
Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
