Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição

Portanto

Substituindo na integral original, obtemos

Aplicamos a regra: $\frac{a}{bx}$$=\frac{\frac{a}{b}}{x}$, onde $a=2$, $b=-1$, $bx=-\left(t-1\right)^{2}$, $a/bx=\frac{2}{-\left(t-1\right)^{2}}$ e $x=\left(t-1\right)^{2}$

Podemos resolver a integral $\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $t-1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

Substituímos $u$ e $dt$ na integral e depois simplificamos

Aplicamos a regra: $\frac{a}{x^b}$$=ax^{-b}$, onde $a=-2$, $b=2$ e $x=u$

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-2$ e $x=u^{-2}$

Aplicamos a regra: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, onde $x=u$ e $n=-2$

Aplicamos a regra: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, onde $a=-2$, $b=-1$, $ax/b=-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$, $x=u^{-1}$ e $x/b=\frac{u^{-1}}{-1}$

Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$, onde $a=-1$ e $x=t-1$

Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$