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$\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}+C_0$
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Solução explicada passo a passo

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Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
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Portanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{e}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Substituindo na integral original, obtemos

$\int\frac{1}{\frac{2t}{1+t^{2}}-1}\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Simplificando

$\int\frac{2}{2t-\left(1+t^{2}\right)}dt$
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Reescreva a expressão $\frac{2}{2t-\left(1+t^{2}\right)}$ que está dentro da integral na forma fatorada

$\int\frac{2}{-\left(t-1\right)^{2}}dt$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{bx}$$=\frac{\frac{a}{b}}{x}$, onde $a=2$, $b=-1$, $bx=-\left(t-1\right)^{2}$, $a/bx=\frac{2}{-\left(t-1\right)^{2}}$ e $x=\left(t-1\right)^{2}$

$\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$
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Podemos resolver a integral $\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $t-1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=t-1$
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Agora, para reescrever $dt$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=dt$
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Substituímos $u$ e $dt$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{-2}{u^{2}}du$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{x^b}$$=ax^{-b}$, onde $a=-2$, $b=2$ e $x=u$

$\int-2u^{-2}du$
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Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-2$ e $x=u^{-2}$

$-2\int u^{-2}du$
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Aplicamos a regra: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, onde $x=u$ e $n=-2$

$-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$
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Aplicamos a regra: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, onde $a=-2$, $b=-1$, $ax/b=-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$, $x=u^{-1}$ e $x/b=\frac{u^{-1}}{-1}$

$2u^{-1}$
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Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $t-1$

$2\left(t-1\right)^{-1}$
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Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$, onde $a=-1$ e $x=t-1$

$\frac{2}{t-1}$
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Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}$
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Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}+C_0$

Resposta final para o problema

$\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}+C_0$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}+C_0$

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