Exercício$\int\frac{1}{\left(sinx+cosx\right)^3}dx$
Solução explicada passo a passo
Passos
1
Simplifique $\frac{1}{\left(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^3}$ em $\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ aplicando identidades trigonométricas
$\int\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}dx$
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2
Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=\sqrt{\left(2\right)^{3}}$ e $x=\csc\left(x+45\right)^3$
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(x+45\right)^3dx$
3
Podemos resolver a integral $\int\csc\left(x+45\right)^3dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x+45$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
$u=x+45$
Passos
4
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
$du=dx$
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5
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^3du$
6
Aplicamos a regra: $\int\csc\left(\theta \right)^3dx$$=\int\csc\left(\theta \right)^2\csc\left(\theta \right)dx$, onde $dx=du$ e $x=u$
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$
7
Podemos resolver a integral $\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Passos
8
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\csc\left(u\right)}\\ \displaystyle{du=-\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)du}\end{matrix}$
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9
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\csc\left(u\right)^2du}\\ \displaystyle{\int dv=\int \csc\left(u\right)^2du}\end{matrix}$
10
Calcule a integral para encontrar $v$
$v=\int\csc\left(u\right)^2du$
11
Aplicamos a regra: $\int\csc\left(\theta \right)^2dx$$=-\cot\left(\theta \right)+C$, onde $x=u$
$-\cot\left(u\right)$
Passos
12
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
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Passos
13
Multiplique o termo $\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ por cada termo do polinômio $\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
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14
Aplicando a identidade trigonométrica: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
15
Aplicando a identidade trigonométrica: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\left(\csc\left(u\right)^2-1\right)du$
16
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\csc\left(u\right)^2$, $b=-1$, $x=\csc\left(u\right)$ e $a+b=\csc\left(u\right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\left(\csc\left(u\right)\csc\left(u\right)^2-\csc\left(u\right)\right)du$
Passos
17
Simplificamos a expressão
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
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Passos
18
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $x+45$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
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19
Aplicamos a regra: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, onde $a=\int\csc\left(u\right)^{3}du$, $b=\int-\csc\left(u\right)du$, $x=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ e $a+b=\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$
Passos
20
A integral $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$ resulta em: $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
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21
Quando a integral que estamos calculando aparece novamente na integração por partes (formou-se um ciclo), ela é resolvida como uma equação. Então o que fazemos é passar a integral repetida para o lado esquerdo da equação, com sinal oposto
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
22
Passe a integral cíclica para o lado esquerdo da equação
$\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
23
Adicionando as integrais
$\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}+1\right)\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
Passos
$\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
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25
Movemos a parte constante $\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ dividindo o outro lado da equação
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
26
A integral nos dá o resultado
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
27
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
28
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)+C_0$
Passos
$\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
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Resposta final para o problema $\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
