Podemos resolver a integral $\int\mathrm{coth}\left(3x\right)dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $3x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=3$ e $x=\mathrm{coth}\left(u\right)$

Podemos resolver a integral $\int\mathrm{coth}\left(u\right)du$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

Calcule a integral para encontrar $v$

Aplicamos a regra: $\int cdx$$=cvar+C$, onde $c=1$

Multiplique o termo $\frac{1}{3}$ por cada termo do polinômio $\left(u\mathrm{coth}\left(u\right)+\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=3$, $c=3$, $a/b=\frac{1}{3}$ e $ca/b=3\cdot \frac{1}{3}x\mathrm{coth}\left(u\right)$

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

Reduzindo termos semelhantes $x\mathrm{coth}\left(3x\right)$ e $-x\mathrm{coth}\left(3x\right)$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$