Calcule a integral de (x^5-x^4x^2+-2)/(x^2+1)

 Solução

 Resposta final para o problema

$\frac{x^{4}}{4}+\frac{-x^{3}}{3}-\frac{1}{2}x^2+2x-4\arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_0$

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 

Calcule a integral

$\int\frac{x^5-x^4+x^2-2}{x^2+1}dx$

 

Dividimos polinômios, $x^5-x^4+x^2-2$ por $x^2+1$

$\begin{array}{l}\phantom{\phantom{;}x^{2}+1;}{\phantom{;}x^{3}-x^{2}-x\phantom{;}+2\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;}x^{2}+1\overline{\smash{)}\phantom{;}x^{5}-x^{4}\phantom{-;x^n}+x^{2}\phantom{-;x^n}-2\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{\phantom{;}x^{2}+1;}\underline{-x^{5}\phantom{-;x^n}-x^{3}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{-x^{5}-x^{3};}-x^{4}-x^{3}+x^{2}\phantom{-;x^n}-2\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{2}+1-;x^n;}\underline{\phantom{;}x^{4}\phantom{-;x^n}+x^{2}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{;\phantom{;}x^{4}+x^{2}-;x^n;}-x^{3}+2x^{2}\phantom{-;x^n}-2\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{2}+1-;x^n-;x^n;}\underline{\phantom{;}x^{3}\phantom{-;x^n}+x\phantom{;}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{;;\phantom{;}x^{3}+x\phantom{;}-;x^n-;x^n;}\phantom{;}2x^{2}+x\phantom{;}-2\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{2}+1-;x^n-;x^n-;x^n;}\underline{-2x^{2}\phantom{-;x^n}-2\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;;;-2x^{2}-2\phantom{;}\phantom{;}-;x^n-;x^n-;x^n;}\phantom{;}x\phantom{;}-4\phantom{;}\phantom{;}\\\end{array}$

 

Da divisão, obtemos o seguinte polinômio como resultado

$\int\left(x^{3}-x^{2}-x+2+\frac{x-4}{x^2+1}\right)dx$

 

Expanda a integral $\int\left(x^{3}-x^{2}-x+2+\frac{x-4}{x^2+1}\right)dx$ em $5$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

$\int x^{3}dx+\int-x^{2}dx+\int-xdx+\int2dx+\int\frac{x-4}{x^2+1}dx$

 

A integral $\int x^{3}dx$ resulta em: $\frac{x^{4}}{4}$

$\frac{x^{4}}{4}$

 

A integral $\int-x^{2}dx$ resulta em: $\frac{-x^{3}}{3}$

$\frac{-x^{3}}{3}$

 

A integral $\int-xdx$ resulta em: $-\frac{1}{2}x^2$

$-\frac{1}{2}x^2$

 

A integral $\int2dx$ resulta em: $2x$

$2x$

 

A integral $\int\frac{x-4}{x^2+1}dx$ resulta em: $\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)-4\arctan\left(x\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)-4\arctan\left(x\right)$

 

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$\frac{x^{4}}{4}+\frac{-x^{3}}{3}-\frac{1}{2}x^2+2x-4\arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)$

 

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\frac{x^{4}}{4}+\frac{-x^{3}}{3}-\frac{1}{2}x^2+2x-4\arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_0$

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$\frac{x^{4}}{4}+\frac{-x^{3}}{3}-\frac{1}{2}x^2+2x-4\arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_0$

Calcule a integral de $\frac{x^5-x^4+x^2-2}{x^2+1}$

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