Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
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- Equação Diferencial Separável
- Equação Diferencial Homogênea
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- Produto de Binômios com Termo Comum
- Método FOIL
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
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Podemos reconhecer que a equação diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ é uma equação diferencial de Bernoulli, pois está escrita na forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ , onde $n$ é qualquer número real diferente de $0$ e $1$. Para resolver esta equação, podemos aplicar a seguinte substituição. Vamos definir uma nova variável $u$ e atribuir a ela o seguinte valor
Substituímos o valor de $n$, que equivale a $-1$
Simplificar
Isolamos a variável dependente $y$
Diferencie ambos os lados da equação em relação à variável independente $x$
Agora, substituímos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ e $y=\sqrt{u}$ na equação diferencial original
Simplificar
Precisamos cancelar o termo antes de $\frac{du}{dx}$. Podemos fazer isso multiplicando toda a equação diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Multiplique ambos os lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Expanda e simplifique. Agora, vemos que a equação diferencial tem a forma de uma equação diferencial linear, pois removemos o termo $y^{-1}$ que estava multiplicando na equação original
Aplicamos a regra: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, onde $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ e $f=\frac{x}{6}$
Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ e $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$
Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$
Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é
Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar
Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$
Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$
Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial
Aplicamos a regra: $\frac{x^a}{b}$$=\frac{1}{bx^{-a}}$, onde $a=-1$ e $b=3$
Aplicamos a regra: $x^1$$=x$
Resolva a integral $\int\frac{2}{3x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Substitua $u$ pelo valor $y^{2}$
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
