$\frac{dy}{dx}=y\left(1-y\right)$

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{y\left(1-y\right)}$ em $2$ frações mais simples

Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)dy$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=y$ e $n=1$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{ax+b}dx$$=\frac{n}{a}\ln\left(ax+b\right)+C$, onde $a=-1$, $b=1$, $x=y$ e $n=1$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=1$, $b=-1$ e $a/b=\frac{1}{-1}$

Aplicamos a regra: $\int cdx$$=cvar+C$, onde $c=1$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

Aplicamos a regra: $\ln\left(a\right)-\ln\left(b\right)$$=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$, onde $a=y$ e $b=-y+1$

Aplicamos a regra: $\ln\left(a\right)=b$$\to e^{\ln\left(a\right)}=e^b$, onde $a=\frac{y}{-y+1}$ e $b=x+C_0$

Aplicamos a regra: $e^{\ln\left(x\right)}$$=x$, onde $x=\frac{y}{-y+1}$

Aplicamos a regra: $e^{\left(x+c\right)}$$=cteinte^x$, onde $x+c=x+C_0$, $2.718281828459045=e$ e $c=C_0$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{x}=b$$\to \frac{x}{a}=\frac{1}{b}$, onde $a=y$, $b=C_1e^x$ e $x=-y+1$

Aplicamos a regra: $\frac{n}{c}$$=cteint$, onde $n/c=\frac{1}{C_1e^x}$, $c=C_1$ e $n=1$

Aplicamos a regra: $\frac{ac+b}{c}$$=a+\frac{b}{c}$, onde $a=-1$, $ac=-y$, $b=1$, $c=y$ e $ac+b=-y+1$

Agrupe os termos da equação

Aplicamos a regra: $\frac{a}{x}=b$$\to \frac{x}{a}=\frac{1}{b}$, onde $a=1$, $b=\frac{C_1}{e^x}+1$ e $x=y$

Aplicamos a regra: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, onde $a=1$, $b=C_1$, $c=e^x$, $a+b/c=\frac{C_1}{e^x}+1$ e $b/c=\frac{C_1}{e^x}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=1$, $b=C_1+e^x$, $c=e^x$, $a/b/c=\frac{1}{\frac{C_1+e^x}{e^x}}$ e $b/c=\frac{C_1+e^x}{e^x}$