Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Como devo resolver esse problema?
- Escolha uma opção
- Integrar por frações parciais
- Integrar por mudança de variável
- Integrar por partes
- Integrar pelo método tabular
- Integrar por substituição trigonométrica
- Integração por Substituição de Weierstrass
- Integrar com identidades trigonométricas
- Integrar usando integrais básicas
- Produto de Binômios com Termo Comum
- Carregue mais...
Podemos resolver a integral $\int\frac{3\sin\left(x\right)+4\cos\left(x\right)}{4\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $4\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=4\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)$
Encontre a derivada
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$
Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\cos\left(\theta \right)\right)$$=-\sin\left(\theta \right)$
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Resolvendo $dx$ da equação anterior
Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{a}$$=\frac{1}{b}$, onde $a=4\cos\left(x\right)+3\sin\left(x\right)$, $b=u$, $a/b=\frac{3\sin\left(x\right)+4\cos\left(x\right)}{u}$ e $a/b/a=\frac{\frac{3\sin\left(x\right)+4\cos\left(x\right)}{u}}{4\cos\left(x\right)+3\sin\left(x\right)}$
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=1$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $4\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $4\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
