Conceitos

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Exercício

dydx −yx=x3y\frac{dy}{dx}\:-\frac{y}{x}=\frac{x}{3y}

Solução explicada passo a passo

1

Podemos reconhecer que a equação diferencial dydx+−yx=x3y\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y} é uma equação diferencial de Bernoulli, pois está escrita na forma dydx+P(x)y=Q(x)yn\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n , onde nn é qualquer número real diferente de 00 e 11. Para resolver esta equação, podemos aplicar a seguinte substituição. Vamos definir uma nova variável uu e atribuir a ela o seguinte valor

u=y(1−n)u=y^{\left(1-n\right)}
2

Substituímos o valor de nn, que equivale a −1-1

u=y(1+1)u=y^{\left(1+1\right)}
3

Simplificar

u=y2u=y^{2}
4

Isolamos a variável dependente yy

y=uy=\sqrt{u}
5

Diferencie ambos os lados da equação em relação à variável independente xx

dydx=12u−12dudx\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}
6

Agora, substituímos dydx=12u−12dudx\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx} e y=uy=\sqrt{u} na equação diferencial original

12u−12dudx+−ux=x3u\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}
7

Simplificar

12u−12dudx+−ux=x3u\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}
8

Precisamos cancelar o termo antes de dudx\frac{du}{dx}. Podemos fazer isso multiplicando toda a equação diferencial por 12u\frac{1}{2}\sqrt{u}

(12u−12dudx+−ux=x3u)(12u)\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)
9

Multiplique ambos os lados por 12u\frac{1}{2}\sqrt{u}

12u(12u−12dudx+−ux)=x3u12u\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}
10

Expanda e simplifique. Agora, vemos que a equação diferencial tem a forma de uma equação diferencial linear, pois removemos o termo y−1y^{-1} que estava multiplicando na equação original

14dudx+−u2x=x6\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}
11

Aplicamos a regra: adydx+c=fa\frac{dy}{dx}+c=f→dydx+ca=fa\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}, onde a=14a=\frac{1}{4}, c=−u2xc=\frac{-u}{2x} e f=x6f=\frac{x}{6}

dudx+−u12x=2x3\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}
12

Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: dydx+P(x)⋅y(x)=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x), então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde P(x)=−112xP(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x} e Q(x)=2x3Q(x)=\frac{2x}{3}. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante μ(x)\mu(x)

μ(x)=e∫P(x)dx\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}
13

Para encontrar μ(x)\mu(x), primeiro precisamos calcular ∫P(x)dx\int P(x)dx

∫P(x)dx=∫−112xdx=−2ln⁡(x)\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)
14

Portanto, o fator integrador μ(x)\mu(x) é

μ(x)=x−2\mu(x)=x^{-2}
15

Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante μ(x)\mu(x) e verificamos se podemos simplificar

dudxx−2−2ux−3=2x−13\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}
16

Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de μ(x)⋅y(x)\mu(x)\cdot y(x)

ddx(x−2u)=2x−13\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}
17

Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a dxdx

∫ddx(x−2u)dx=∫2x−13dx\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx
18

Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial

x−2u=∫2x−13dxx^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx
19

Aplicamos a regra: xab\frac{x^a}{b}=1bx−a=\frac{1}{bx^{-a}}, onde a=−1a=-1 e b=3b=3

x−2u=∫23x1dxx^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx
20

Aplicamos a regra: x1x^1=x=x

x−2u=∫23xdxx^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx
21

Resolva a integral ∫23xdx\int\frac{2}{3x}dx e substitua o resultado na equação diferencial

x−2u=23ln⁡∣x∣+C0x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0
22

Substitua uu pelo valor y2y^{2}

x−2y2=23ln⁡(x)+C0x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0
23

Aplicamos a regra: xax^a=1x∣a∣=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}

1x2y2=23ln⁡∣x∣+C0\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0
24

Aplicamos a regra: abxa\frac{b}{x}=abx=\frac{ab}{x}

y2x2=23ln⁡∣x∣+C0\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0
25

Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável yy

y=23ln⁡(x)+c0x, y=−23ln⁡(x)+c0xy=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x

Resposta final para o problema

y=23ln⁡(x)+c0x, y=−23ln⁡(x)+c0xy=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x

Como devo resolver esse problema?

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4x2+2y−3x−4=2x2+x4x^2+2y-3x-4=2x^2+x
dydx  −yx =x3y 
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◻√◻
◻√
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ln
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log◻
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d/dx
D□x
∫
∫◻
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tan
cot
sec
csc

asin
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atan
acot
asec
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sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
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