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$\frac{d}{dx}\left(x^2+xy-y^2=1\right)$

Solução passo a passo

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Solução

Resposta final para o problema

$y^{\prime}=\frac{-2x-y}{x-2y}$
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Solução explicada passo a passo

Como devo resolver esse problema?

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  • Encontrando a derivada com a regra do quociente
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  • Encontre a derivada
  • Integrar por frações parciais
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Método FOIL
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  • Carregue mais...
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(a=b\right)$$=\frac{d}{dx}\left(a\right)=\frac{d}{dx}\left(b\right)$, onde $a=x^2+xy-y^2$ e $b=1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2+xy-y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(1\right)$
2

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2+xy-y^2\right)=0$
3

A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(xy\right)+\frac{d}{dx}\left(-y^2\right)=0$
4

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(xy\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$
5

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(ab\right)$$=\frac{d}{dx}\left(a\right)b+a\frac{d}{dx}\left(b\right)$, onde $d/dx=\frac{d}{dx}$, $ab=xy$, $a=x$, $b=y$ e $d/dx?ab=\frac{d}{dx}\left(xy\right)$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=y$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$
6

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $a=2$ e $x=y$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-2y^{2-1}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=2$, $b=-1$ e $a+b=2-1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-2y^{1}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $a=2$ e $x=y$

$- 2y^{2-1}\frac{d}{dx}\left(y\right)$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=2$, $b=-1$ e $a+b=2-1$

$- 2y^{1}\frac{d}{dx}\left(y\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $a=2$ e $x=y$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-2y^{1}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$
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Aplicamos a regra: $x^1$$=x$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-2y\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=y$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-2y\cdot y^{\prime}=0$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$

$2x^{\left(2-1\right)}$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=2$, $b=-1$ e $a+b=2-1$

$2x$
10

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$

$2x+y+xy^{\prime}-2y\cdot y^{\prime}=0$
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Agrupe os termos da equação movendo os termos que contêm a variável $y^{\prime}$ para o lado esquerdo e aqueles que não a contêm para o lado direito

$xy^{\prime}-2y\cdot y^{\prime}=-2x-y$
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Fatore o polinômio $xy^{\prime}-2y\cdot y^{\prime}$ pelo seu máximo divisor comum (MDC): $y^{\prime}$

$y^{\prime}\left(x-2y\right)=-2x-y$
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Aplicamos a regra: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=x-2y$, $b=-2x-y$ e $x=y^{\prime}$

$y^{\prime}=\frac{-2x-y}{x-2y}$

Resposta final para o problema

$y^{\prime}=\frac{-2x-y}{x-2y}$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $y^{\prime}=\frac{-2x-y}{x-2y}$

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