Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Especifica o método de resolução
Fatore a diferença de quadrados $x^2-1$ como o produto de dois binômios conjugados
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ em $2$ frações mais simples
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$
Multiplicando polinômios
Simplificando
Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
A integral de $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a
Expanda a integral $\int\left(\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}\right)dx$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{2\left(x+1\right)}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x+1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
A integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ resulta em: $\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)$
A integral $\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$ resulta em: $\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$